Теорія ймовірності

Це слово можна чути щодня, але, якщо задуматися, то що таке ймовірність? І як часто у повсякденному житті ми зустрічаємось із ймовірностями? Може, не все так просто, як здається на перший погляд? Є кілька цікавих властивостей (якщо не сказати дивних).

Ймовірність події

Люди почали замислюватися про ймовірність і випадковість напевно відтоді, як винайшли азартні ігри. Найдавніша з них – гра в кістки.

Найстаріші “кубики” датуються 20 століттям до нашої ери і знайшли їх у Єгипті. Скоріше за все, давні люди розцінювали результат гри як волю богів, але не помічати закономірності не могли.

Першим, хто правильно порахував кількість варіантів комбінацій з трьох кубиків, був Галілео Галілей. Виявилося, що всього таких комбінацій 216 штук (6х6х6=6³). 3500 років до Галілея ніхто не міг порахувати це правильно, хоча багато хто намагався.

Сьогодні ми стикаємося з цим поняттям щодня, але погано його розуміємо і не вміємо правильно оцінювати.

Те, що люди не вміють правильно оцінювати ймовірності та ризики з цим пов’язані, було доведено ще 1979 році Даніелем Канеманом і Амосом Тверськи. А в 2020 році за цю роботу Канеман (Тверський на той час вже помер) отримав Нобелівську премію з економіки.

Поки доводиться вибирати між “точно трапиться” і “точно не трапиться”, все гаразд, порівнюємо нуль та одиницю. А щойно справа доходить до таких завдань як:

Вірогідність запізнитися на важливу співбесіду, якщо довго вибирати в чому піти становить 0,6, але якщо добре одягнутися, ви почуватиметеся впевнено і ймовірність домовитися буде вищою — 0,7. Можна швидко зібратися і шанси запізнитися зменшуються до 0,1, але і можливість отримати роботу скоротиться до 0,3. Ваше рішення?!

Швидше за все, прийняти правильне рішення зможе тільки людина, яка застосовує теорему Байєса щодня. Мабуть таких дуже-дуже мало.

То що таке ймовірність події та як вона визначається?

Ймовірність у математиці

Пояснити простими словами ймовірність, звичайно, можна відразу. І на цьому закінчити. Але якщо “копнути” глибше, буде трохи складніше, але разом і цікавіше. То ж почнемо з простого…

Спочатку все досить просто, ймовірність — це число від 0 до 1, яке виражає можливість настання події. Якщо щось безперечно трапиться, то ймовірність події — “одиниця”, якщо щось відбутися не може, то ймовірність “нуль”. А ось між ними, найнезрозуміліше.

Найпростіше показати це за допомогою монетки та відомої гри “орел і решка”. Якщо виключити такі варіанти як: монетка впаде на ребро, повисне в повітрі або загубиться, залишається або орел, або решка. Один кидок монетки два можливі варіанти:

1/2

Так просто! Поки що.

А тепер уявімо, що вам запропонували зіграти в гру, ставка 100 доларів. Ви кидаєте монетку 3 рази і якщо випаде два “орли” поспіль, виграєте, а якщо ні — програєте. Чи станете ви грати, якщо так, то скільки раундів? Можете написати у коментарі.

Перша складність

Справа в тому, що ймовірність і її оцінка корисна тільки у разі нескінченного числа повторень. Або хоча б достатньо великої кількості, щоб впевнено “округлювати” значення для достатньої точності.

Ось симуляція підкидання монетки, як видно на графіку, чим більше повторень, тим ближче до значення 0,5 (коли рівно половина орлів і половина решок). Але навіть якщо підкинути монету тисячу разів, буде зовсім не 50 на 50, а, наприклад, 0,507 і 0,493.

А коли ж ймовірність буде 0,5? Якщо підкинути монетку нескінченну кількість разів, то ймовірність “орла” становитиме точно 0,5. А якщо кидків замало, то ніяких 50 на 50 не вийде. Спробуйте самі провести експеримент хоча б із 100 спробами.

Виходить, що в ідеальному світі математики і в нашому реальному світі ймовірності мають трохи різні значення?

Що таке ймовірність події в математиці?

Це ліміт частоти спостереження цієї події, за умови, що кількість спостережень необмежено збільшується, іншими словами наближається до нескінченності.

pr(x)=lim e/n

n — кількість спостережень, e — кількість подій і, найважливіше n→ ∞.

Начебто теж що й 1/2 кількома абзацами вище, але вже з умовою, що монетку потрібно кинути нескінченну кількість разів. Простою мовою, ймовірність набуває сенсу, тільки у разі великої кількості повторень, найкраще — нескінченної.

Вірогідність у житті

Як працює ймовірність у реальному житті? Уявимо, що ви захворіли на хворобу, летальність якої — 5%. Чи означає це, що ви точно не помрете? Ні! Це означає, що якби ви захворіли 100 разів, то в 5 випадках із ста померли б. Некорисне знання, чи не так? Це математика, тут все ідеально.

Друга складність ймовірності

Ймовірність не завжди має практичне значення. 5% – це важлива величина, але вона має сенс лише на рівні Всесвітньої організації охорони здоров’я, де збирають статистику. Вони ділять кількість померлих на кількість хворих (і тих та інших, мільйони) та отримають свої 5%.

Для одного конкретного хворого шанс вижити 0,95 не дає жодних гарантій, він цілком може потрапити в ці 5% випадків.
Те ж і з азартними іграми і лотереями. Можна зіграти один раз та виграти, а можна не виграти ніколи.

Імовірність виграшу важлива для казино, вони мають справу з великими числами для яких теорія ймовірностей працює. Для пересічного гравця рахувати шанси безглуздо. Це просто питання випадковості.

Ймовірність та відсотки

Пересічні жителі ймовірність виражають у відсотках. Ми говоримо про 100% ймовірність, коли все точно, 50 на 50, коли може статися або одна подія, або інша. Математик скаже, що це не вірно, ймовірність не можна переводити у відсотки. Правильно говорити 0,5, а не 50%.

Хоча кількісно, це нічого не змінює. Тож у побуті (поки поряд немає математиків) цілком можна вважати, що ймовірність 0,2 — це 20%.

Фізика і теорія ймовірності

Ситуація така ж як і з математикою. Поки ми залишаємось у рамках класичної механіки, все інтуїтивно зрозуміло. Наприклад, що таке можливість відмови? Ця кількість пристроїв, що відмовили, розділена на кількість усіх механізмів.

pr_fail=f/n

f – кількість відмов, n – кількість всіх механізмів.

Ось тільки з застереженням, що йдеться про певний проміжок часу, якщо взяти, як математики, нескінченність, то ймовірність відмови дорівнюватиме 1. Тобто все зламається так чи інакше.

Якщо за час роботи 10 000 годин із 10 машин зламалася одна, то ймовірність відмови буде 1/10=0,1. Знову все просто і нудно.

А ось у квантовій механіці все набагато цікавіше. Тут усі стани частинок є ймовірностями…

У випадку з монетою, вона перебуватиме в стані квантової суперпозиції, простими словами випаде орел і решка одночасно.

Якщо в нашому великому світі її стан можна записати 1 (орел) або 2 (решка), то у світі елементарних частинок квантової фізики: 1-2 або 1+2: “с більшою ймовірністю орел” або “з меншою ймовірністю решка”. Причому йдеться не про велику кількість експериментів, а про ймовірність того, що монетка знаходиться в якомусь стані прямо зараз.

Тобто ми взагалі не знаємо що випало, чи орел там чи решка.

Щоб зовсім не заплутатися в невизначеності і заплутаності квантової фізики, повернемося до азартних ігор.

Обіграти казино можна, якщо не грати

Уявимо ситуацію, ви в казино, і бачите, що на рулетці випало “червоне” 3 рази поспіль. На що ви поставите? На “чорне” чи на “червоне”?

Якщо вам здається, що ймовірність виграти при ставці на чорне вище, ви помиляєтеся. Тут йдеться про незалежні події. Рулетка не має пам’яті, і при кожному кидку кульки ймовірність випадання завжди однакова і не залежить від попередніх. Це когнітивне спотворення називається “помилка гравця” або “ефект Монте-Карло”.

У 1913 році в казино Монте-Карло “чорне” випало 26 (двадцять шість) разів поспіль. Багато гравців розорилися, вважаючи, що “ну зараз щось точно червоне…”

Третя складність

У разі різних видів подій ймовірність поводиться по-різному.

Наприклад: ймовірність збити літак однією ракетою становить 0,6, скільки ракет потрібно випустити, щоб напевно збити літак однією з ракет? Якщо ви відповісте “дві”, то будете не праві.

У разі несумісних подій (таких які не можуть статися одночасно) ймовірності складаються: 0,6+0,6=1,2 (трохи із запасом).

Але в прикладі з літаком, випустити кілька ракет ми можемо одночасно тоді потрібно використовувати іншу формулу для складання двох ймовірностей:

P(1,2)=P₁+P2-P₁xP₂

0,6+0,6-(0,6×0,6)=1,2-0,36=0,84

Тобто ні, двох ракет буде недостатньо.

А якщо запитати себе: чи може статися так, що обидві ракети попадуть у ціль? Таке може статися, тоді така подія буде сумісною та незалежною і ймовірність що вона відбудеться треба рахувати інакше:

P(1,2)=P₁xP₂

0,6х0,6=0,36

Очевидно, що шансів потрапити двома ракетами одночасно менше, ніж потрапити лише одній з двох. Причому у 2,33 рази менше.

Різницю між сумісними та несумісними подіями можна показати на прикладі гральної кістки. Якщо ми хочемо визначити з якою ймовірністю на кубику випаде 6, а з якою 5, йтиметься про несумісні події. Одночасно не можна отримати і те, й інше значення. А от якщо взяти дві гральні кістки, то одночасно випасти 6 та 5 може і ці події будуть сумісними та незалежними.

Але в реальності, якщо обидві ракети будуть запущені по тому самому літаку, події не будуть незалежні. Поки пілот ухилятиметься від першої ракети, шанси другої потрапити в ціль зростатимуть. Значить ці події все-таки пов’язані. Як бути у такому разі? Тут уже починає працювати на повну силу теорія ймовірностей, простою мовою, без математики ніяк не обійтися.

Теорема Байєса

На допомогу приходить формула Байєса, за допомогою якої якраз і можна розрахувати ймовірність однієї події з урахуванням того, що сталося інше. У нашому прикладі перша ракета промахнулася, але ми вистрілили другою. Отже, перший постріл 0,7, а другий 0,7. Чи вийде напевно потрапити?

Як розрахувати умовну ймовірність збити літак другою ракетою:

P(a|b)=P(a)хP(b|a)/P(b) Тут треба трохи пояснити значення.

P(a|b) — це умовна ймовірність події b (друга ракета вразила ціль) в результаті настання події a (перша ракета промахнулася, але дала підвищений шанс другий).

P(a) — початкова ймовірність події a, без умов у нашому випадку 1-0,7=0,3 . Перша ракета пройшла повз.

P(b|a) — ймовірність події b за умови, що гіпотеза a (промах) вірна. У нашому випадку 0,7

P(b) — повна ймовірність. Так як ракет у нас дві, рахувати потрібно так: Перший варіант: перша промахнулася, друга потрапила (множимо обидві ці ймовірності), Другий варіант: перша промахнулася і друга промахнулася.

Перша подія – промах, потрапляння: 0,3 х0, 7 = 0,21

Друга подія – промах, промах: 0,3 х0, 3 = 0,09

Повна ймовірність дорівнюватиме: 0,3х0,7+0,3х0,3=0,21+0,09=0,3

У результаті ми отримаємо:

0,3*0,7/0,3=0,7

Як бачите, все одно на розраховувати на 100% потрапляння не можна. Лише на 70%. Все логічно, адже перша ракета свого шансу не використала.

Якщо прорахувати, що при промаху першої ракети шанси другої збільшуються (літак ухилявся і ставив перешкоди першою, а друга прилетыла через 30 секунд, коли літак вже не міг так само інтенсивно ухилиться втративши швидкість). Нехай шанси зросли до 0,9.

P(a) — ймовірність події a, промах 1-0,7=0,3.

P(b|a) — ймовірність події b за умови, що шанси другої ракети в результаті зросли до 0,9

P(b) — повна ймовірність. Перший варіант: перша промахнулася, друга потрапила (0,3х0,9), Другий варіант: перша промахнулася та друга промахнулася (0,3х0,1).

Перша подія – промах, потрапляння: 0,3 х0, 9 = 0,27

Друга подія – промах, промах: 0,3 х0, 1 = 0,03

Повна ймовірність дорівнюватиме: 0,3х0,9+0,3х0,1=0,27+0,03=0,3

У результаті ми отримаємо:

0,3*0,9/0,3=0,9

Звичайно, ситуація описана вище, умовна. Це просто ілюстрація до розрахунку ймовірності. Сучасні ракети мають табличні ймовірності ураження цілі, близькі до 0,9, але варто враховувати те, як ці значення отримані.

Це симуляції для певних умов, а умов дуже багато. Наприклад, ціль рухається назустріч чи видаляється? З якого ракурсу пускається ракета, під яким кутом? Ціль малопомітна чи ні, і яка її ефективна площа розсіювання?

А для більш старих ракет повітря-повітря, можна отримати реальні дані: кількість випущених у бойових умовах ракет і кількість збитих супротивників. Тільки ці, правдиві дані, вже застаріли.

Яка ймовірність вгадати…

Як порахувати ймовірність вгадати PIN код банківської картки що складається з 4 цифр? Імовірність випадково вгадати одну цифру 1 до 10 (від 0 до 9).

Якби цифр було дві то до кожного підбору однієї цифри додалося б ще 10 варіантів іншої. Тобто ставимо на перше місце 0, а на другому може бути будь-яка із 10 цифр. Виходить 10х10 = 100 комбінацій. Тобто 10² (десять у квадраті).

Для комбінації з 4 цифр кількість таких комбінацій складе 10⁴, тобто 10 000. А значить, ймовірність підібрати такий код 1/10 000 або 0 ,0001. Досить мало шансів, але якщо всі цифри дійсно випадкові, людині доведеться попітніти. Але комп’ютер впорається з підбором такого пароля за 200 наносекунд, а це 0,00000002 секунди.

А ось якщо як пінкод використовувати дату народження то підбирати потрібно вже не 4 випадкові цифри. Дві перші будуть не випадковими це чи 19, чи 20. Тоді комбінацій вже не десять тисяч, а всього 2х100=200. Сотня комбінацій для “19” та ще сотня для “20”.

Така це різнобічна й цікава штука, ймовірність. Погодьтеся, іноді повсякденне поняття може відкритися з нового боку, варто спробувати розібратися в ньому трохи краще. Звичайно, за допомогою математики.