Корінь із двох

Це не найвідоміше число в математиці, усі знають про число пі, експоненту або золоту пропорцію. А от просто корінь із двох, навіть окремої назви не заслужив. Але все ж у цьому числі багато цікавого.

Квадратний корінь із двох

Отже, звідки взагалі береться таке дивне число і чому ми не записуємо його в нормальному вигляді, а пишемо √2?

Справа в тому, що “квадратний корінь із двох” — це ірраціональне число. Тобто його не можна записати у вигляді простої дробу m/n. Тобто m не ділиться на n без остачі. А раз дробу немає, то й у десятковому вигляді це число буде нескінченно довгим.

Чому дорівнює корінь із двох?

1,4142135623730950488016887242096980785696…

Або з точністю до четвертого знака після коми:

1,4142

Звідки ж береться таке незручне число? Із геометрії.

Якщо взяти квадрат зі стороною, рівною одиниці, і провести діагональ у ньому, то довжина цієї діагоналі й буде дорівнювати √2.
Тобто ми можемо безкінечно точно обчислювати довжину діагоналі такого квадрата, але ніколи не отримаємо точне значення.

Якщо довжина сторони квадрата — це a, то за теоремою Піфагора можна обчислити й довжину діагоналі c:

a²+a²=с²

Поки все правильно і здається нескладним. Але давайте спробуємо обчислити довжину діагоналі… Не вийде!

Хто відкрив корінь із двох?

Існує така легенда:

Давним-давно, у VI столітті до нашої ери один із учнів Піфагора розв’язував задачу про діагональ квадрата за допомогою теоремы Піфагора.

Але квадрат був незвичайним, зі стороною, рівною одиниці.

Виходить, що:

a²+a²=c² — сума квадратів сторін квадрата дорівнює квадрату діагоналі

Якщо сторона квадрата a=1, то 1²+1²=c²

Тобто 2²=c², значить діагональ c=√2

Усе було б нічого, та от тільки піфагорійці були не зовсім ученими, а радше релігійною сектою. Вони вірили, що все у світі можна виразити через числа, а самі числа мають містичні властивості. Вони вважали, що все у світі можна висловити через цілі числа.

Поява ірраціонального числа, тобто такого, яке не можна точно навіть обчислити, викликала такий шок у піфагорійців, що вони потопили того, хто відкрив перше ірраціональне число.

Але це лише легенда.

Насправді давнім математикам піфагорійської школи належить не лише відкриття числа “корінь із двох”, а й доказ його ірраціональності, а також методика обчислень за допомогою апроксимації.

Що таке ірраціональні числа

Корінь із двох — перше ірраціональне число. Але є й інші.

Ірраціональне число — це таке число, яке не можна представити у вигляді дробу m/n, якщо і m, і n — цілі числа, а n не дорівнює нулю. Простіше кажучи, у десятковому вигляді таке число має довгий нескінченний “хвіст” після коми, у якому не повторюються циклічно.

Ще простіше — таке число не можна точно обчислити, можна лише нескінченно наближатися до його значення.

Загалом слово “раціо” означає співвідношення. Тобто раціональні числа можна виразити за допомогою дробу, а ірраціональні — ні.

Найвідоміші ірраціональні числа:

• Число пі — відношення довжини кола до його радіуса, тобто L/D. Дорівнює пі приблизно 3,142857142857143…. Нам відомо 62,8 трильйона знаків після коми!
• Число e — воно ж число Ейлера або основа натурального логарифма. Дорівнює числу e приблизно 2,71828182845904523536… З’явилося внаслідок розв’язання задачі про складні відсотки. Обчислено до 31 трильйона знаків після коми
• Число ϕ — або “золотий перетин” чи “божественна пропорція”. Число фі дорівнює приблизно 1,618033988… Використовувалося давніми архітекторами та художниками для створення красивих і правильних пропорцій своїх творів. У природі зустрічається дуже часто.
• √3 і √5 також є ірраціональними числами

Що цікавого в ірраціональних числах?

• Якщо помножити два ірраціональні числа, результатом може бути ірраціональне або ціле число
• Ірраціональних чисел більше, ніж раціональних
• Ми частіше стикаємося з раціональними числами, тому мало помічаємо ірраціональні
• Кількість ірраціональних чисел нескінченна

Вперше люди зіткнулися з ірраціональними числами в геометрії. Обчислення довжини діагоналі квадрата не завжди може бути точним, а відношення довжини кола до його діаметра — ніколи. Далі в розрахунках ці числа почали виникати як “неправильні” й “незручні”, які неможливо точно виразити в десятковому вигляді.

Цікаві факти про корінь із двох:

• √2 — перше виявлене ірраціональне число в історії
• √2 × √2 = 2
• √2 — використовується в музиці в системі рівномірної темперації, щоб гітара чи фортепіано могли грати в усіх тональностях
• √2 — використовується для розрахунків у 3D-графіці та 3D-іграх для обчислення відстаней і нормалізації векторів
• Це число також називають “Константа Піфагора”, хоча сам Піфагор до нього не має відношення
• Відношення довжини великої сторони до меншої в папері формату А4 дорівнює √2 (з точністю до 4 знаків). Це зроблено так, щоб при складанні листа по краях пропорції зберігалися

Отже, корінь із двох був першим ірраціональним числом, але не став найвідомішим, адже використовується досить рідко. У його більш “успішних” конкурентів (π чи e) є навіть свої свята в календарі.

Але саме корінь із двох зламав математику давніх греків, одночасно відкриваючи нову сторінку в математиці — ірраціональні числа.