Нуль в степені нуль

Нуль — це найзагадковіше число і саме контрінтуїтивне. Адже його аналога у реальному житті просто немає. Нуль – це відсутність чогось. Але чому нуль у степені нуль дорівнює одиниці? І головне питання, чи це так насправді? Можете перевірити на своєму калькуляторі до того, як прочитаєте…

0⁰=1 ?

Нуль “у степені” нуль

Як таке може бути? А ось як: 1⁰=1, 2⁰=1…. х⁰=1. Будь-яке число при зведенні в нульову степінь дорівнює одиниці. Чим сам нуль гірший? Але не все так просто.

Що означає звести у ступінь? Наприклад “два у квадраті”. Що ми робимо, ми двійку множимо на саму себе 2 рази (2 * 2 = 4), “два в кубі”, двійку множимо саму на себе 3 рази (2 * 2 * 2 = 8). А якщо ступінь, це “нуль”? Потрібно взяти число і помножити саме на себе. нуль разів? Це дивно.

Ось як виглядає графік функції y=x^x

Видно, що при зменшенні значення Х значення У спочатку знижується, а потім починає зростати і перетворюється… в одиницю за умови дуже маленьких (майже нульових) значеннях Х. Було б логічно припустити, що коли значення зменшиться до нуля, там також буде одиниця.

Ще раз, повернемося до простих цифр:

3²=9

Що означає цей запис? Щоб одержати дев’ять, потрібно трійку помножити двічі. Правда ж?

3⁰=1

Скільки разів потрібно помножити трійку саму на себе, щоб отримати одиницю? А якщо поділити 1 на 3? Простої відповіді немає? Логічно, що чим більше значення степеня, тим більший результат, і чим менше це значення, тим і результат менший.

Але на графіку вище показано, що крива “упирається” у межу (ліміт) в одиницю. Точніше значення функції стає рівним 1, коли нуль ще навіть не досягнутий. І якщо зменшувати Х ще більше, все одно далі одиниці не зрушити.

Контекст

Як виходить, що при множенні нуля самого на себе виходить щось більше за нуль?

Якщо ми в реальному житті (а не в математиці) з’їли всі яблука і їх у нас 0, то скільки б ми не множили відсутні яблука на такі ж “нульові” фрукти, як може у нас виникнути ціле яблуко? Якщо вам здається таке питання простим, так і є.

З однієї точки зору цей дивний математичний вираз дорівнюватиме одиниці, а ось з іншого він буде “не визначений”. Тобто ніякої одиниці, а результату множення нуля на нуль і бути не може, так?

Математика каже, що:

3²×3² це так само, як і  3^{2 +2} = 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3= 81

або

4⁵÷4³ це так само, як і 4^{5 –3} = 4² = 4 × 4 = 16

Тоді, якщо степені однакові:

3²÷3² це так само, як і 3^{2 -2} = 3⁰ = Ой?!

Але ж ми можемо і не відняти степені, а просто зробити дві операції окремо:

3²÷3² це так само, як і  3^{2 -2} = 3⁰, але 3²=9, тоді 3² ÷3² = 3^2-2 або 3²÷3² =9÷9=1

А що буде, якщо одне число поділити на самого себе? Одиниця!

Матаналіз

З точки зору математичного аналізу, все одночасно і складно, і дуже просто. Нуль у степені нуль = невизначеність. Що, погодьтеся, логічніше. Адже якщо в нас немає нічого і ми нічого помножимо на себе, не може ж виникнути щось із цієї порожнечі?

Теорія множин

Давайте подивимося з погляду теорії множин. Припустимо, у нас є дві множини.

Перша множина, це кількість символів пароля, яким закрито доступ до вашої сторінки в соцмережі, або, ще краще, PIN код банківської картки допустимо — 4 символи.

****

Друга множина, це кількість значень, які може приймати кожен символ. Припустимо, що це лише цифри, отже, цифр — 10.

Запитання, скільки варіантів комбінацій існує? Скільки разів потрібно ввести випадкову комбінацію, щоб вгадати пароль? Кожен символ:

10⁴=10 000 тисяч варіантів.

Можна сказати, що множина цифр (10) відображається на множині можливих символів (4). Але є і “порожні” множини. Наприклад, ви не поставили пароль зовсім, у вас є нуль символів, які можна вгадати, так скільки спроб знадобиться, щоб отримати доступ до рахунку? Рівно одна.

Тобто при 10⁰=1, але те саме станеться, якщо пароля немає і значень теж немає 0⁰= 1.

Простими словами, нуль в нульовій степені означає, що пароль не встановлений і кожне значення теж 0. Тоді може існувати тільки одна така “комбінація”.

А насправді?

Практичного застосування це математичне вираз, як неважко здогадатися, не має зовсім. Жодному інженеру, жодному економісту не спаде на думку множити нуль на нуль декілька разів. Це просто не застосовна конструкція. Так що питання залишається в галузі математики, і можливо філософії.

Це напевно єдиний випадок, коли залишаючись математиком можна вільно для себе вирішувати чому дорівнює “0 в степені 0”.