Незвичайні способи множення чисел

Всі знають, як множити в стовпчик, трохи менше людей знають про множення лініями, але є й інші цікаві способи.

Множення чисел — це дуже проста операція, фактично, те саме, що й додавання. Звичайно, поки самі числа не великі.

2х3=2+2+2 (три рази по два) або 24х6=24+24+24+24+24+24 (шість разів по 24)

Тобто, знати таблицю множення зовсім не обов’язково? Так, але з нею зручніше. Наприклад, у випадку множення чисел 235х4596, число 4596 доведеться скласти 235 разів! Або навпаки, 235 скласти 4596 разів…

Слово “скласти” вжито не дарма. Ось простий спосіб у цьому переконатися. Потрібно взяти аркуш паперу, скласти його 5 разів в одному напрямку, а потім 3 рази в іншому. Отримаємо дію 5х3. Лічимо отримані від згинання прямокутники — їх 15. Це те саме, якби ми взяли 3 смужки тканини (або чого завгодно) довжиною 5 і склали разом.

Як не крути, а виходить — 15!

Незвичайні способи множення

В школі нас навчають використовувати два інструменти: таблицю Піфагора (вважається, що таблицю множення придумав саме цей грецький математик) і множення “в стовпчик”. Це справді найефективніші інструменти? Окрім них є ще кілька цікавих способів множити числа. Можливо, якийсь із них буде простіший, і не потрібно буде вчити таблицю?

По-українськи

Використовувався для визначення площі земельної ділянки. Наприклад, маємо поле довжиною 6 і шириною 5.

Щоб дізнатися, скільки буде 6х5, робимо наступне: ліве число ділимо на 2, а праве множимо на 2, поки від лівого числа не залишиться одиниця.

4 | 5

   4/2=2 | 5*2=10

     2/2=1 | 10*2=20

4х5=20, все правильно, так само як і 1х20=20

Що відбувається при такому способі? Ми ділимо прямокутник пополам, поки його ширина не стане рівною одиниці. Ділити на два не складно.

Ось тільки що буде, якщо одна з сторін не буде ділитися на 2? Буде довгий і не такий вже й простий процес.

6 | 2 → 12

6/2=3 | 2*2=4 → 12

3/2=1,5 | 4*2=8 → 12   

1,5/2=0,75 | 8*2=16 → 12 

Якщо в лівій частині парне число — цю стрічку не вважаємо, якщо значення менше одиниці — теж відкидаємо, залишаються друга та третя стрічки, а це 8+4=12. А якщо уявити, що множити потрібно 173 на 735? Ні, такий спосіб множення не найзручніший.

Можна ділити/множити і на 3, але тоді потрібно знати таблицю множення “на три”, тоді вже і 5 і 7 і… Так, зручніше вивчити її всю. Також, якщо буде необхідно перемножити великі числа, процес буде дуже довгим.

Східний спосіб

То чи китайський, чи японський спосіб множення, за допомогою ліній, він же “графічний”. Його суть полягає в тому, що цифри першого числа зображуються у вигляді паралельних ліній, а другого — перпендикулярних їм. Кількість перехрещень і є результатом множення. Тобто, тут знати таблицю множення не потрібно, достатньо вміти додавати. Наприклад, так:

2 х 3 і навіть 15 х 12

Японський або китайський метод, суть не змінюється

Як працює множення за допомогою ліній?

Перше число (фіолетовим кольором на картинці) малюється так: Знизу вгору, зліва направо, спочатку тисячі, потім сотні, десятки, одиниці. Друге число (блакитним кольором на картинці) малюється навпаки: згори-вниз.

У першому прикладі все просто 2 і 3. Дві лінії перетинають 3 інші, виходить 6 точок. У другому, спочатку малюємо 15 — одиницю (один десяток), потім п’ять ліній, що зображають 5 (п’ять одиниць). Потім (12) перпендикулярно їй другу одиницю і 2 лінії.

Далі потрібно порахувати перехрестя, але вже в зворотному напрямку. Починати справа. В прикладі це 10, 7 і 1. Результат складається в стовпчик:

10

7

1

180

Якщо порівняти з традиційним “стовпчиком”, спочатку може здатися, що японсько-китайський метод простіший…

Множення лініями

А що робити, якщо потрібно помножити 10 на 12? Як зобразити “нуль” лінією? Ніяк, він участі не бере, можна намалювати його пунктиром і перехрестя не враховувати, все просто…

Але ось вже в разі 853х951 малювати і рахувати точки доведеться дуже багато. Старий-добрий стовпчик знову виявиться зручнішим. Кожен сам може спробувати перемножити 9878 і 8794 “японським методом” і засікти необхідний час.

Японський метод з нулем

Ця методика не універсальна, зовсім не підходить, коли числа достатньо великі, зате її дуже просто пояснити маленьким дітям, які ще не знають таблицю множення.

Жалюзі

Зустрічається ще й назва “решітки” та індійський метод множення. Повірити в індійське походження простіше всього, якщо згадати, хто взагалі вигадував цю вашу математику в давнину. Отже, щоб помножити два числа, потрібно побудувати матрицю (якщо хочете — таблицю, ми ж намагаємося бути простішими).

Множимо 45 на 82

Оскільки в кожному числі по 2 цифри, таблиця буде 2х2. Кожну клітинку потрібно перечеркнути по діагоналі. Далі записуємо зліва направо, і згори-вниз цифри 4, 5, 8, 2 навпроти кожної клітинки. Починаємо множити цифри, що знаходяться напроти одна одної. 4 на 8, 5 на 8, 4 на 2 і 5 на 2.

Ну ось знову потрібна таблиця множення, інакше доведеться довго складати числа.

Результати записуються в клітинки хитрим способом, десятки над діагоналлю, а одиниці — під нею. Але, якщо значення менше 10 (тобто це одна, а не дві цифри), то замість десятки вгорі пишеться “нуль”, як при множенні 4х5. Але можна залишити поле порожнім.

Тепер, дивимося на суму всіх чисел в кожній вертикальній колонці (суму десятків і одиниць) і записуємо результат. У нас виходить 3690.

Теж достатньо просто, тільки з маленькими значеннями, для множення тризначних чисел доведеться малювати таблицю розміром 3х3=9 осередків.

Як множити в стовпчик

Ось ми і дійшли до самого традиційного методу. Так нас навчають у школі множити великі числа. Як же це працює і чи простіше всіх екзотичних способів? Записуємо два числа одне під одним 23х12:

23

12

—

46

23

276

Множити починаємо “з кінця”. Беремо останню цифру останнього числа, це 2. Множимо на 3, отримуємо 6 і на 2, отримуємо 4. Так і записуємо їх з кінця 46. Повторюємо те ж саме з другою цифрою — 1.

Множимо 1 на 3 і на 2. Записуємо нижче 23. Тільки зміщуємо на одну позицію вліво. Так, щоб під цифрою 6 було порожньо, а 2 опинилася під 4.

Все, що залишилося зробити — це скласти всі цифри зверху вниз. 6+0, 4+3, 0+2. Якщо в якійсь парі виходить більше 9, то залишок переносимо праворуч. Так 4+3=7, але якби ми склали 5+6=11, то записали б 1, а в праву колонку додали б ще 1.

Ви напевно знаєте, як це все робиться і робили самі. Але тепер, знаючи всі інші способи множення, можете оцінити, чи простіше множення в стовпчик порівняно з іншими методами.

Який метод множення кращий?

Якщо перепробувати всі способи множення чисел, стає очевидним, що всі представлені альтернативні методи множення — це всі варіанти знайомого “стовпчика”. Також операції розбиваються на більш дрібні: спочатку множення, потім — сумування.

Тільки в так званому китайському/японському способі множення як таке не використовується (замість нього перетин ліній) і в цьому варіанті дійсно можна обійтися без таблиці множення, але доведеться багато малювати, що підвищує ймовірність здійснити помилку при перерахунку точок перетину.

Є думка, що популярність множення в стовпчик викликана саме компактністю запису. Так на множення потрібно менше паперу, менше чорнил (так, чорнила раніше використовувалися і також коштували грошей) і, відповідно, часу.

Знати нетрадиційні методики цікаво і навіть корисно, але шкільна таблиця множення, все ж швидше, а якщо ви знаєте, як множити в стовпчик — це зручніше, ніж будь-який інший спосіб. Якщо, звісно, …