Загадкове число е

Число е — дуже загадкова константа. На відміну від “пі”, зовсім не очевидно звідки воно взялося і що насправді означає. І зовсім не очевидно якими саме “магічними” властивостями воно володіє, раз вже це число одне з найпопулярніших.

Що таке число е

Число е — це стала Ейлера. Поки що все здається досить простим, є якась чергова константа. Але от питання, звідки вона береться?

Наприклад, число пі — це відношення довжини кола і його діаметра. Зрозуміло і просто.

А ось число е — це основа натурального логарифму… Тобто його походження трохи більш загадкове, ця константа з’явилася не з геометрії, де щоб зрозуміти суть, достатньо побачити. Тут все трохи складніше, але цікавіше…

Натуральний логарифм ln x — це такий логарифм, основою якого є число е. Тобто мовою математики:

ln x = log_e x

Але математики люблять все скорочувати, тому найчастіше використовують запис ln x. Навіщо писати зайві символи, якщо все і так зрозуміло? Якщо зі скороченнями все ясно, то з самим числом поки що ні. Щоб зрозуміти, що таке число е, потрібно згадати історію його відкриття.

Звідки взялося число е

Це дуже дивно, але вперше число е відкрив Якоб Бернуллі, а не Ейлер. Бернуллі вирішував задачу про нарахування складних відсотків. Ось у чому суть:

До банку поклали 1 долар під 100% річних (такі цифри взяті для простоти, множити на одиницю завжди дуже просто, знати таблицю множення не треба).

Якщо відсотки будуть нараховуватися в кінці року, клієнт банку заробить 2 долари. Все зрозуміло. Але якщо нараховувати відсотки частіше? Наприклад, раз на квартал або кожного місяця? А ще частіше, ніж раз на місяць?

Якщо нарахувати відсотки двічі на рік, і суму нарахованих відсотків додавати до вкладу, очевидно, що дохід клієнта збільшиться.

Проста математика:

1. Минуло 6 місяців, банк нарахував 100% річних за пів року. Це 100/2=50%. Тобто 1*0,5=0,5 і ці 0,5 додаються до первісної суми вкладу.
2. Минув рік, банк знову нарахував 100% річних за пів року, але вже не від 1 долара, а від 1,5. Це 1,5*0,5=0,75. Додаємо до первісної суми 1+0,5+0,75=2,25. На 0,25 більше, ніж було з варіантом без капіталізації та виплатою раз на рік. Магія складного відсотка, насправді дуже проста.

Раз складні відсотки це добре (але тільки якщо йдеться про депозит, а не кредит) тоді треба отримувати виплати якомога частіше. Звичайно додаючи їх до суми вкладу.

1. Раз на рік. Вклали 1 долар, заробили 2 при 100% річних.
2. Двічі на рік — 2,5, а це вже 125%, а не 100%!
3. Чотири рази на рік — 2,44!
4. Кожного місяця — 2,61, і вже 161,3%!

Чим частіше капіталізуються відсотки за вкладом, тим краще для нас. Тоді давайте попросимо банк виплачувати дохід щодня, а краще щогодини!

Щоб не рахувати щоденні виплати, а тим більше щогодинні, треба вивести формулу складного відсотка. Ось вона:

$1*(1+1/n)ⁿ

Цікаві факти:

1. Число е ірраціональне. Це нескінченна десятковий дріб приблизно рівний 2,71. Кількість цифр після коми в цьому числі нескінченна.
2. Число е — трансцендентне число, воно не може бути коренем алгебраїчного рівняння.
3. Послідовність цифр у числі е випадкова. Отже, в нескінченному його “хвості” можна знайти будь-які комбінації цифр.
4. Неформальне свято числа Ейлера відзначається 7 лютого. Тому що в американській традиції запису дат це 2/7
5. У двійковій системі число е буде записуватися так 10,10110… Теж нескінчений дріб. У будь-якій системі числення.
6. Похідна від експоненційної функції дорівнює самій собі. Це унікальна властивість такої функції.

f(x)’=de^x/dx=e^x

Це означає, що швидкість зміни такої функції в будь-якій точці завжди дорівнює значенню цієї функції. Простими словами, наскільки ми змінюємо значення функції, рівно настільки ж змінюється швидкість її зміни.

Наприклад, чим далі ми намагаємося рухатися, тим сильніше опір середовища, або чим частіше вимагаємо виплачувати відсотки, тим повільніше збільшується підсумкова дохідність.

З іншого боку, інтеграл експоненційної функції також дорівнює самій функції плюс константа.

∫e^x dx = e^x + C

Простою мовою, функція e^x не змінюється ні при інтегруванні, ні при диференціюванні.

Де використовується число е

Число е можна зустріти насамперед там, де йдеться про процеси експоненційного зростання. Тобто у випадку використання функції f(x)=e^x. Число е в степені X — це експонента!

Найнаочніший приклад — це зростання чисельності популяції, наприклад, бактерій. Їх кількість буде експоненційно зростати, поки не досягне межі, наприклад, не скінчиться місце для подальшого зростання або поживне середовище (буде нічого їсти).

Також можна зустріти число е у формулах радіоактивного розпаду. Хімічні реакції також розвиваються за експоненційним законом, де використовується число е. Наприклад, залежність енергії активації та швидкості хімічної реакції.

Зарядка і розрядка конденсатора також описується експоненційним законом, з використанням числа Ейлера.

Ще число Ейлера використовується у функції нормального розподілу. Ця функція показує розподіл випадкової величини, наприклад, зросту або ваги котів, коефіцієнта інтелекту людей або того, як далеко може викотитися середня піщинка від того місця, де було висипано відро піску.

Тобто число е використовується часто. І зустрічається і в математиці, і у фізиці, і в біології, і особливо в економіці. Тому і популярне.