Що таке експонента
Журналісти, блогери та дивані експерти… Усі використовують фрази “експоненційне зростання”, а хто простіше “зростання по експоненті”. Дехто, мабуть, навіть пам’ятає, що таке експонента, але навряд чи зможе пояснити простими словами.
Що ж, настав час розібратися з тим, чим ми так часто користуємося. Можливо, все зовсім не так…
Що таке експонента
Тут все просто (але це тільки поки що). Багато хто вважає, що експонента це просто число е = 2,718281828459045235360287… Звісно, це не так. Це число e, називається числом Ейлера, воно трансцендентно і ірраціонально, що звучить красиво і загадково, але експонента, не число, це функція.
f(x)=ex
Ті, хто трохи товаришував з математикою в школі, відразу помітять цікаву особливість цієї функції. Її основою є не негативне число, а значить, вона завжди зростатиме.
При х = 0, у = 1, при х = 1, у = 2,718, при х = 2 y = 7,39 …. Ну а при х = 10, у = 22 026,5
Значення функції зростає і зростає дуже швидко. Швидко і нестримно.
Експоненційне зростання
Що таке експоненційне зростання? Простими словами, це таке зростання, при якому чим більше росте якесь значення, тим більше прискорюється його зростання. Тобто згодом зростає не лише значення, а й сама швидкість його зростання.
А це, іншими словами, означає, що значення змінної функції і швидкість її зростання перебувають у прямо пропорційній залежності. Тобто, якщо значення збільшиться двічі, швидкість зростання також збільшиться в 2 рази.
Зрештою, експоненційне зростання — найшвидше.
Насправді все вищесказане стосується будь-якої показової функції, а не тільки експоненти.
f(x)=аx
Підставою може бути будь-яке не негативне число, хоч два, хоч три, хоч… скільки завгодно.
Кілька прикладів із життя
Найактуальнішим і наочним можна назвати ситуацію з поширенням вірусу (або будь-якої іншої інфекції). Припустимо, що кожна людина протягом дня заражає двох інших.
Тоді, у перший день у нас буде один інфікований, другого — троє. Один старий знайомий і два нові. Кожен із новачків, у свою чергу, заразить двох інших. На третій день — 7 тих, хто заразився, на четвертий — 1, а на п’ятий — 31…
Стоп, це тільки за умови, що кожна людина заразить тільки двох і, чудовим чином, перестане це робити протягом наступних днів. Але ж так не буде! Всі ці люди й надалі заражатимуть по 2 особи на день.
А раз так, то на третій день буде вже 9 рознощиків вірусу, на п’ятий — 81, а через тиждень по нашому уявному місту блукатиме вже 729 заражених.
Це і буде експоненційне зростання кількості заражених. Без урахування їх лікування, карантину чи будь-яких інших заходів, хвороба розвиватиметься саме так. За 10 днів заражених людей буде вже 59 тисяч. Через 15 днів – понад 14 мільйонів. Просто математика, але який яскравий приклад експонентного зростання?
Легко вивести формулу: 1, 3, 9, 27, 81… це “три” у ступенях 2, 3 та 4. Тобто, показова функція з основою 3.
f(x)=3x
І, хоча у цій формулі ступінь зводиться не число Ейлера (2,71828….), таке зростання теж називається експоненційним.
Ще один приклад із біології: розмноження бактерій.
Бактерії розмножуються поділом. Кожна ділиться надвоє і таке інше… Але, звісно, не нескінченно. Ліміт є, але про це трохи пізніше.
Експоненційне зростання в економіці
Є приклади зростання по експоненті та в економіці. Найцікавіший – фінансова піраміда. Найбезпечнішим є Закон Мура.
Перший закон Мура говорить, що кількість транзисторів подвоюється кожні 2 роки. Таким чином, і обчислювальні потужності комп’ютера подвоюються кожні два роки.
Другий Закон Мура (який сформулював вже не Гордон Мур) говорить, що вартість виробництва мікросхем також зростає експоненційно через ускладнення технологій.
Що стосується фінансових пірамід, то основна ідея в тому, що їх зростання зумовлене виключно зростанням кількості “сектантів” віруючих у величезні прибутки або тих, хто вірить, що зуміє вчасно “зіскочити”. Так чи інакше, піраміди завжди руйнуються.
Але, звичайно, зростання не може продовжуватися нескінченно. У випадку з бактеріями (і будь-якими іншими організмами, та хоч мишами), настане час, коли їм не вистачить простору та їжі. У разі мікросхем настане фізична межа швидкості передачі даних (ми навряд чи зуміємо перевищити швидкість світла).
Ну а всілякі чарівні економічні моделі у формі пірамід рано чи пізно стикаються з тією ж проблемою, живильне середовище у вигляді легковірних послідовників
Логістична крива
У реальному світі, не такому ідеальному як математика, будь-який процес може зіткнутися з границею (лімітом).
У прикладі зростання популяції бактерій або навіть великих тварин це кількість ресурсів, яка завжди обмежена. Тому, за умови, що ресурси не нескінченні, процес розвивається S образною кривою. Спочатку стрімко зростає, а потім сповільнюється.
На приклад з вірусом, настає день, коли більшість населення вже перехворіла і виробила антитіла (або штучно щеплена) і вірус більше неспроможна поширюватися за експоненціальному закону. Головне питання, чи можна точно передбачити цей день?
Мальтузіанська пастка
З експонентою пов’язаний ще один цікавий економічний ефект — “мальтузіанська пастка”. Уявіть, що зростання населення країни відбувається за експонентним законом. Наприклад, кожна пара народжує щонайменше 4 дітей, ті своєю чергою також народжують чотирьох. Рано чи пізно кількість людей перевищить кількість їжі, необхідної для нормального життя.
Просто тому, що продуктивність праці фізично обмежена (наприклад, кількістю родючих земель), до того ж розвиток технологій найчастіше відбувається лінійно, а експонента завжди зростає швидше. Виходить, що технологічний розвиток суспільства не встигає за зростанням населення.
Чим це закінчується? Кризою, голодом, війнами за ресурси. Населення зменшується і все починається спочатку.
Чому це важко уявити?
Нам, людям, складно собі уявити розвиток процесу “по експоненті” тому, що не властиво так мислити. Ми звикли до лінійних та циклічних процесів. Вони частіше зустрічаються в нашому житті: циклічні зміни дня та ночі та лінійні зміни часу. Це просто та звично. А ось експоненційні процеси трапляються рідше.
Проте вони є і ігнорувати їх небезпечно. Просто тому, що за цією швидкістю нашому розуму складно наздогнати. Навіть прості пояснення експоненційного зростання здаються чимось абстрактним, адже це не вигадка, а наша реальність.
