Що таке функція

Це слово використовується дуже часто. І в науковому диспуті та звичайній розмові… Але хто і з нас точно знає, про що йдеться? Що таке функція?

Просте пояснення функції — це залежність, зв’язок або дія. Все залежить від контексту, але до кінця цієї статті все стане ясним і зрозумілим (і самому авторові теж).

Історія функції

Само слово “функція” — латинського походження. З латини воно перекладається як “виконання” або “вчинення”, що в принципі одне й те саме — дія. Функціонувати і зараз означає виконувати якусь дію.

Що таке функція в математиці

У математиці функція означає — “залежність”. Це найпростіше і найкоротше пояснення. Але для тих, кому ще не стало зрозуміло…

Більш за все труднощів з розумінням як звичайно нам дарує саме математика. Термін функція в математиці з’явився лише в 17-му столітті. Хоча саме явище було відоме набагато раніше саме в листуванні двох математиків Бернулі та Лейбніца це слово було вжито у значенні дуже близькому до сучасного.

Функція існувала в математиці і раніше, просто загальноприйнятого терміна та його визначення не було. Наприклад, не менш відомі, П’єр Ферма (автор теореми свого імені), Рене Декарт і навіть Ньютон чудово розуміли предмет, але не користувалися терміном.

Перше визначення функції в математиці дав Леонард Ейлер у 1751 році. До Ейлера функцію пояснювали як:

Деякі порівняння постійних та змінних

Ейлер же висловився набагато виразніше:

Ейлер вважав, що функція — це відповідність між парами чисел.

Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони змінюються, то перші називаються функціями других…

Залежність однієї множини чисел від іншої і є функція. Коли знаменитий математик написав ці слова, він був учасником так званої “суперечки про струну”.

Отже, залежність (або зв’язок або відповідність) однієї множини від іншої.

Ця залежність позначається буквою ƒ

y=ƒ(x)

Тут x це аргумент функції, або незалежна змінна, а y — залежна змінна або “функція ікс”.

Це можна прочитати як “кожному значенню ігрек відповідає певне (а визначається воно законом f(x)) значення “ікс” або “ігрек залежить від ікс за деяким законом.”

Тобто коли якісь або два набори (множини) чисел або об’єктів пов’язані між собою за якимось законом, ми маємо справу з функцією. Ікс та ігрек це просто літери, які прийнято використовувати самі по собі вони нічого не означають, можна написати будь-які інші.

Наприклад: Тиск води, це функція глибини.

p=f(h)

Чим глибше, тим вищим буде тиск. Прислів’я “Чим далі в ліс, тим більше дров” — теж функція (кількості дров від відстані), а “Як з гуски вода” вже ні. Тому що гуска з водою жодним законом не пов’язана.

Запис y=f(x) говорить про те, що між х і у є зв’язок, але незрозуміло який. Вона може бути у=х (кожному ігреку свій ікс), а може і у = 2х (кожному ігреку відповідає ікс помножений на два). Залежність може бути будь-якою, але вона має бути.

Функція у фізиці

Функція — може бути, наприклад, величиною, що змінюється з часом (або не з часом, а чогось іншого, просто час більш зрозумілий).

Наприклад, швидкість це функція зміни відстані від часу. Якщо відстань, пройдену за певний час, розділити на цей час отримаємо — швидкість.

Функція зміни координати за часом. Можна сказати ”залежність зміни координат від часу.”

Фізика, як наука “про природу” допомагає краще зрозуміти математику. Тут все можна пояснити простими словами, навіть “функцію”.

Давайте уявимо звичайнісіньку ситуацію. Людина кудись іде. За першу годину він пройшов 5 кілометрів, за другий ще 5, потім ще … Через 3 години він втомився, і почав йти повільніше — 4 км. Зрештою (через 5 годин прогулянки, зовсім зупинився, щоб відпочити.

1. Перша година — 5 км
2. Друга — 5 км
3. Третя — 5 км
4. Четверта — 4 км
5. П’ята — 3 км
6. Шоста — 0 км

Ми гуляли 5 годин і протопали 5+5+5+4+3=22 кілометри (уявна людина не курить і гуляє у зручному взутті). Чи залежить пройдена відстань від часу? Звичайно так, чим далі гуляємо, тим далі опинимося від дому. Відстань залежить від часу – це функція. У стовпчику вище у нас її табличний вираз.

Причому в перші три години функція лінійна, а далі вже немає. Чому? У реальному світі через втому швидкість зменшилася. А в “світі науки”. Якщо взяти винахід пана Декарта та намалювати те, що у нас у таблиці.

Вийде графік функції або її графічне зображення. На графіку видно, що перші 3 години наш пішохід йшов з однаковою швидкістю лінія пряма (зеленого кольору).

Він утомився і почав йти повільніше, і з кожним кроком все повільніше і повільніше (помаранчева крива лінія). Якби лінія була прямою весь час, ми б подолали відстань 25 км. Але це не так. Ділимо відстань 15 км на 3 години і отримуємо швидкість 5 км/год ділимо 4 на 1 годину і 3 теж на 1 і отримуємо швидкості 4 км/год та 3 км/год.

Але краса залежності в тому, що якщо ми захочемо дізнатися, яка швидкість була через 4 години і 30 хвилин, достатньо провести лінію знизу вгору до перетину з графіком (синя точка) і справа ліворуч до осі де знаходиться відстань і поділити одне інше (відстань на час). Можна навіть дізнатися, що буде, якщо не зупиниться і не відпочивати. Подовжуємо графік ще на одну годину та вуаля:

Ну це на графіку, а в першій таблиці немає часу 4:30 і немає нічого після 6-ї години.

Немає і не потрібно. Функція — це залежність і висловити її можна ще одним способом — аналітичним. Вийде формула.

x=f(t)

Тут t — це аргумент функції, такий же, як і “ікс” в абзаці про математику. А “ікс” позначення координати, яка змінюється в залежності від часу t.

Знавши за яким законом час залежить від відстані, можна розрахувати швидкість у будь-який момент часу.

У нашому прикладі закон у = 5х або s = 5t, але тільки на ділянці від нуля до трьох, далі залежність нелінійна і відображається кривою лінією. Але

З іншого боку, є значення слова “дія” (якщо ще не забули). Хто з ким і що робить? У прикладі відстань змінюється з часом. Це те саме, що і “час змінює відстань”? В принципі, так цілком логічно.

Математики взагалі можуть сказати що, “оператор f діє з множини х на множину y”.

Функція — роль та призначення

Функція молотка — забивання цвяхів. А Центрального банку (не єдина) — видача кредитів дрібнішим банкам.

Ось ми і повернулися до первісного значення латинського слова “виконувати”. Молоток (виконує роботу) із забиття цвяхів. Банк (виконує роботу) із видачі кредитів. В обох випадках є і зв’язок одного з іншим і якась дія, що виправдовує існування, і молотка і банку.

У програмуванні функція — це код який виконує певну задачу. Підпрограма яку можна “викликати” (зазвичай багато разів) для виконання певного завдання. Ось приклад із php (мови, яка використовується на цьому сайті):

function sum($x,$y)

{return $x+$y;}

Навіть не будучи програмістом стає зрозуміло, що функція на ім’я “sum” підсумовує 2 змінні.

Отже функція, це залежність, чи робота, чи призначення… Залежить від контексту, але завжди є мінімум дві сутності (може бути й більше) пов’язані якимось правилом чи законом, які діють одна на одну. Щось із чимось пов’язане, хтось на щось впливає. Таке водночас і просте та складне, майже філософське поняття, але зустрічається нам щодня.