Способи множення

Всі знають, як множити в стовпчик, трохи менше людей знають про множення лініями, але є й інші цікаві способи.

Множення чисел — це дуже проста операція, фактично, те ж саме, що і додавання. Звичайно, поки що самі числа не великі.

2х3=2+2+2 (тричі по два) або 24х6=24+24+24+24+24+24 (шість разів по 24)

Тобто знати таблицю множення зовсім не обов’язково? Так, але з нею зручніше. Наприклад, у разі множення чисел 235х4596 число 4596 доведеться скласти 235 разів! Або навпаки, 235 скласти 4596 разів…

Слово “скласти” вжито не дарма. Ось простий спосіб переконатися в цьому. Потрібно взяти аркуш паперу скласти його 5 разів у одному напрямку, а потім 3 рази в іншому. Вийде дія 5х3. Рахуємо прямокутники, що вийшли від згинання, — їх 15. Це те ж саме, якби ми взяли 3 смужки тканини (або чого завгодно) довжиною 5 і склали разом.

Як не крути, а виходить – 15!

Незвичайні способи множення

У школі нас вчать використовувати два інструменти: таблицю Піфагора (вважається, що таблицю множення придумав саме цей грецький математик) і множенню “в стовпчик”.

Це справді найефективніші інструменти? Крім них є ще кілька цікавих способів множити числа. Може, якийсь із них буде простіше і вчити таблицю не доведеться?

По-селянськи

Використовувався для визначення площі земельної ділянки. Наприклад, маємо поле довжиною 6 та шириною 5.

Щоб дізнатися, скільки буде 6х5 робимо таке: ліве число ділимо на 2, а праве множимо на 2, поки від лівого числа не залишиться одиниця.

4 | 5

  4/2=2 | 5*2=10

     2/2=1 | 10*2=20

4х5=20, все правильно, так само як і 1х20=20

Що відбувається за такого способу? Ми розділяємо прямокутник навпіл, поки його ширина не дорівнюватиме одиниці. Ділити на два не складно.

Ось тільки що буде, якщо одна зі сторін не ділиться на 2? Буде довгий і не такий простий процес.

6 | 2 → 12

6/2=3 | 2*2=4 → 12

3/2=1,5 | 4*2=8 → 12   

1,5/2=0,75 | 8*2=16 → 12 

Якщо у лівій частині парне число — цей рядок не рахуємо, якщо значення менше одиниці — теж відкидаємо, залишається другий і третій рядок, а це 8 + 4 = 12. А якщо уявити, що помножить потрібно 173 на 735? Ні, такий спосіб множення не найлегший і найпростіший.

Можна ділити/множити і на 3, але тоді потрібно знати таблицю множення “на три”, тоді вже і 5 і 7 і… Так, зручніше вивчити її всю. Також, якщо потрібно буде перемножити великі числа, процес буде дуже довгим.

Східний спосіб

Чи то китайський, чи то японський спосіб множення, за допомогою ліній, він же “графічний”. Його суть полягає в тому, що цифри першого числа зображуються у вигляді паралельних ліній, а другого перпендикулярних їм. Кількість перетинів є результатом множення. Тобто тут знати таблицю множення не потрібно, достатньо вміти підсумовувати. Наприклад, так:

2 х 3 і навіть 15 х 12

Японський або китайський метод, суть не змінюється

Як множити за допомогою ліній?

Перше число (фіолетовим кольором на малюнку) малюється так: Знизу вгору, зліва направо, спочатку тисячі, потім сотні, десятки, одиниці. Друге число (блакитним кольором на зображенні) малюється навпаки: зверху-вниз.

У першому прикладі все просто 2 і 3. Дві лінії перетинають 3 інші, виходить 6 точок. У другому, спочатку малюємо 15 — одиницю (один десяток), потім п’ять ліній, що зображають 5 (п’ять одиниць). Потім (12) перпендикулярно їй другу одиницю та дві лінії.

Далі потрібно порахувати перетини, але вже у зворотному напрямку. Починати праворуч. У прикладі  це 10, 7 та 1. Результат складається у стовпчик:

10

7

1

180

Якщо порівняти з традиційним “стовпчиком”, спершу може здатися, що японсько-китайський метод простіше…

Множення лініями

А що робити, якщо потрібно помножити 10 на 12? Як зобразити “нуль” лінією? Ніяк він участі не бере, можна намалювати його пунктиром і перетин не рахувати, все просто…

Але ось вже випадку 853х951 малювати і вважати точки доведеться дуже багато. Старий-добрий стовпчик знову виявиться зручнішим. Кожен сам може спробувати перемножити 9878 та 8794 “японським методом” і засікти необхідний час.

Японський метод з нулем

Ця методика не є універсальною, зовсім не підходить, коли числа досить великі, зате її дуже просто пояснити маленьким дітям, які ще не знають таблицю множення.

Метод жалюзі

Зустрічається ще й назва “решітки” та індійський метод множення. Повірити в індійське походження найпростіше, якщо згадати, хто взагалі вигадував цю вашу математику в давнину. Отже, щоб помножити два числа, потрібно побудувати матрицю (якщо завгодно таблицю, ми ж намагаємося бути простіше).

Множимо 45 на 82

Так як у кожному числі по 2 цифри, таблиця буде 2х2. Кожну комірку потрібно перекреслити по діагоналі. Далі записуємо ліворуч-на-право, і зверху-вниз цифри 4, 5, 8, 2 навпроти кожної комірки. Починаємо множити цифри навпроти один одного. 4 на 8, 5 на 8, 4 на 2 та 5 на 2.

Ну ось знову потрібна таблиця множення, інакше доведеться довго складати числа.

Результати записуються в комірки хитрим способом, десятки над діагоналлю, а одиниці — під нею. Але якщо значення менше 10 (тобто це одна, а не дві цифри), то замість десятки верху пишеться “нуль”, як при множенні 4х5. Але можна залишити поле порожнім.

Тепер, щоб дізнатися про результат, потрібно порахувати суму в кожній діагоналі, як показано на малюнку. Зверху вниз:

3 3 3

0+2+4=6

    8+1=9

            0

У результаті одержуємо 3690.

Тож досить просто, тільки з невеликими значеннями, для множення трицифрових чисел доведеться малювати таблицю розміром 3х3=9 комірок.

Як множити в стовпчик

Ось ми й дісталися найтрадиційнішого методу. Так нас навчають у школі множити великі числа. Як же це працює і чи найпростіше екзотично способів? Записуємо два числа одне під іншим 23х12:

23

12

—

 46

23

276

Множити починаємо “з кінця”. Беремо останню цифру останнього числа, це 2. Помножуємо на 3, отримуємо 6 і на 2, отримуємо 4. так і записуємо їх з кінця 46. Повторюємо те саме з другою цифрою — 1.

Помножуємо 1 на 3 і на 2. Записуємо нижче 23. Тільки змістивши на одну позицію вліво. Так, щоб під цифрою 6 було порожньо, а 2 опинилося під 4.

Все, що залишилося зробити, це скласти всі цифри зверху вниз. 6+0, 4+3, 0+2. Якщо в якійсь парі виходить більше 9, то залишок переноситься ліворуч. Так 4+3=7, але якби ми склали 5+6=11, то записали б 1 і до лівої колонки додали б ще 1.

Ви напевно знаєте як це все робиться і робили самі. Але тепер, знаючи всі інші способи множення, можете оцінити чи простіше множення в стовпчик всіх інших методів.

Який метод множення кращий?

Якщо перепробувати всі способи множення чисел, стає очевидно, що всі представлені альтернативні методи множення — це всі варіанти знайомого “стовпчика”. Також операції розбиваються на дрібніші: спочатку множення, потім підсумовування.

Тільки в так званому китайському/японському способі множення як таке не використовується (замість нього перетин ліній) і в цьому варіанті дійсно можна обійтися без таблиці множення, але доведеться багато малювати, що підвищує ймовірність зробити помилку при перерахуванні точок перетину.

Є думка, що популярність множення в стовпчик викликана саме компактністю запису. Так на множення потрібно менше паперу, менше чорнила (так, чорнило раніше використовувалося і теж коштувало грошей) і, відповідно, часу.

Знати нетрадиційні методики цікаво і навіть корисно, але шкільна таблиця множення, все ж таки швидше, а якщо ви знаєте як множити в стовпчик – це зручніше, ніж будь-який інший спосіб. Якщо, звичайно, не рахувати калькулятор.