Что такое вероятность

Это слово можно слышать каждый день, но, если задуматься, то что такое вероятность? И как часто в повседневной жизни мы встречаемся с вероятностями? Может, не все так просто, как кажется на первый взгляд? Есть несколько интересных свойств (если не сказать странных)..

Вероятность события

Люди начали задумываться о вероятности и случайности наверное с тех пор, как изобрели азартные игры. Древнейшая из них — игра в кости. Самые старые кости датируются 20 веком до нашей ты и были найдены в Египте. Скорее всего, древние люди расценивали исход игры, как волю богов, но не замечать закономерности не могли.

Первым, кто правильно посчитал количество вариантов комбинаций из трех кубиков, был Галилео Галилей. Оказалось, что всего таких комбинаций 216 штук (6х6х6=6³). 3 500 лет до Галилея никто не мог посчитать это правильно, хотя многие пытались.

Сегодня мы сталкиваемся с этим понятием каждый день, но плохо его понимаем и не умеем толком оценивать.

То, что люди не умеют правильно оценивать вероятности и риски с этим связанные, было доказано еще 1979 Даниэлем Канеманом и Амосом Тверски. А в 2020 году за эту работу Канеман, (Тверски к тому времени уже умер) получил Нобелевскую премию по экономике.

Пока приходится выбирать между «точно случится» и «точно не случится», все в порядке, сравниваем ноль и единицу. А как только дело доходит до таких задач как:

Вероятность опоздать на важное собеседование, если долго выбирать в чем пойти составляет 0,6, но если хорошо одеться, вы будете чувствовать себя уверение и вероятность договориться будет выше — 0,7. Можно быстро собраться и шансы опоздать уменьшаться до 0,1, но и вероятность получить работу сократится до 0,3. Ваше решение.

Скорее всего, принять правильное решение сможет только человек применяющий теорему Байеса ежедневно. Так что такое вероятность события и как она определяется?

Вероятность в математике

Объяснить простыми словами вероятность, конечно, можно сразу и на этом закончить, но если «копнуть» глубже, будет немного сложнее, но интереснее. Начнем с простого.

Поначалу все довольно просто, вероятность — это число от 0 до 1, которое выражает возможность наступления события. Если что-то определенно случится, то вероятность события — «единица», если что-то произойти не может, то вероятность «ноль«. А вот между ними, самое непонятное.

Проще всего показать пример с помощью монетки и известной игры «орел и решка». Если исключить такие варианты как: монетка упадет на ребро, повиснет в воздухе или потеряется, то остается либо орел, либо решка. Один бросок монетки два возможных варианта:

1/2

Так просто. Пока.

А теперь представим, что вам предложили сыграть в игру, ставка 100 долларов. Вы бросаете монетку 3 раза и если выпадет два «орла» подряд, выигрываете, а если нет — проигрываете. Станете ли вы играть, если да, то сколько раундов? Можете написать в комментарии.

Первая странность

Дело в том, что вероятность и ее оценка полезна только в случае бесконечного числа повторений. Или хотя бы достаточно большого числа, чтобы уверено «округлять» значения для достаточной точности.

Вот симуляция подбрасывания монетки, как видно на графике, чем больше повторений, тем ближе к значению 0,5 (когда ровно половина орлов и половина решек). Но, даже если подбросить монету тысячу раз, будет совсем не 50 на 50, а, например, 0,507 и 0,493.

А когда же вероятность будет 0,5? Если подбросить монетку бесконечное количество раз, то вероятность «орла» составит точно 0,5. А если бросков недостаточно, то никаких 50 на 50 не получится. Попробуйте сами провести эксперимент хотя бы с 100 попытками.

Получается, что в идеальном мире математики и в нашем реальном мире вероятности имеют немного разные значения?

Что такое вероятность события?

Это предел частоты наблюдения этого самого события, при условии, что количество наблюдений стремится к бесконечности.

pr(x)=lim e/n

n — это количество наблюдений, e — это количество событий и, самое важное n→ ∞.

То есть вроде бы тоже что и 1/2 несколькими абзацами выше, но уже с условием, что монетку нужно бросить бесконечное количество раз. Говоря простым языком, вероятность обретает смысл, только в случае большого числа повторений, лучше всего, бесконечного.

Вероятность в жизни

Как работает вероятность в реальной жизни. Представим, что вы заболели болезнью, летальность которой — 5%. Значит ли это, что вы точно не умрете? Нет! Это значит, что если бы вы заболели 100 раз, то в 5 случаях из ста умерли бы. Бесполезное знание, не так ли?

Вторая странность вероятности

Вероятность не всегда имеет практическое значение. 5% — это важная величина, но она имеет смысл только на уровне Всемирной организации здравоохранения, где собирают статистику. Они разделят количество умерших на количество заболевших (и тех и других, миллионы) и получат свои 5%.

Для одного конкретного больного же шанс выжить 0,95 не дает никаких гарантий, он вполне может попасть в эти 5% случаев.

То же и с азартными играми и лотереями. Можно сыграть один раз и выиграть, а можно не выиграть никогда. Вероятность выигрыша важна для казино, они имеют дело с достаточно большими числами для которых теория вероятностей работает. Для рядового игрока считать шансы бессмысленно. Это просто вопрос случайности.

Вероятность и проценты

В обывательском понимании вероятность выражается в процентах. Мы говорим о 100% вероятности, когда все точно известно ли 50 на 50, когда может произойти либо одно событие, либо другое. Математик же скажет, что это не верно, вероятность нельзя переводить в проценты. Правильно говорить 0,5, а не 50%.

Хотя количественно, это ничего не меняет. Так что в быту (пока рядом нет математиков) вполне можно считать, что вероятность 0,2 — это 20%.

Физика

Ситуация така же как и с математикой. Пока мы остаемся в рамках классической механики, все интуитивно понятно. Например, что такое вероятность отказа? Это количество отказавших устройств разделенное на количество всех механизмов.

pr_fail=f/n

 

f — количество отказов, n — количество всех механизмов.

Вот только с оговоркой, что речь идет об определенном промежутке времени, если взять, как математики, бесконечность, то вероятность отказа будет равняться 1. То есть все сломается так или иначе.

Если за время работы 10 000 часов из 10 машин сломалась одна, то вероятность отказа будет 1/10=0,1. Опять все просто и скучно на первых порах.

А вот в квантовой механике все намного интереснее. Здесь все состояния частиц являются вероятностями… В случае с монеткой, она будет находиться в состоянии квантовой суперпозиции, говоря простыми словами выпадет орел и решка одновременно.

Если в нашем большом мире ее состояние можно записать 1 (орел) или 2 (решка), то в мире элементарных частиц квантовой физики: 1-2 или 1+2: «с большей вероятностью орел» или «с меньшей вероятностью решка». Причем речь идет не о большом количестве экспериментов, а о вероятности, что монетка находится в каком-то состоянии прямо сейчас.

То есть мы вообще не знаем, орел там или решка выпало.

Чтобы совсем не запутаться в неопределенностях и запутанностях квантовой физики, вернемся к азартным играм.

Обыграть казино можно, если не играть

Представим ситуацию, вы в казино, и видите, что на рулетке выпало «красное» 3 раза подряд. На что вы поставите? На «черное» или на «красное»?

Если вам кажется, что вероятность выиграть при ставке на черное выше, вы ошибаетесь. Тут речь идет о независимых событиях. У рулетки нет памяти, и при каждом броске шарика вероятность выпадения всегда одинаковая и не зависит от предыдущих. Это когнитивное искажение называется «ошибка игрока» или «эффект Монте-Карло».

В 1913 году в казино Монте-Карло «черное» выпало 26 (двадцать шесть) раз подряд. Многие игроки разорились, полагая, что «ну сейчас то точно красное…»

Третья странность

В случае разных видов событий вероятность ведет себя по-разному.

Например: вероятность сбить самолет одной ракетой составляет 0,6, сколько ракет нужно выпустить, чтобы наверняка сбить самолет одной из ракет? Если вы ответите «две», то будете не правы.

В случае несовместных событий (таких которые не могут произойти одновременно) вероятности складываются: 0,6+0,6=1,2 (немного с запасом).

Но в примере с самолетом, как раз таки выпустить несколько ракет мы можем одновременно тогда нужно использовать другую формулу для сложения двух вероятностей:

P(1,2)=P₁+P2-P₁xP₂

0,6+0,6-(0,6×0,6)=1,2-0,36=0,84

То есть, нет, двух ракет будет недостаточно.

А если задаться вопросом: может ли случиться так, что обе ракеты попадут в цель? Такое может произойти, тогда такое событие будет совместным и независимым и вероятность его наступления нужно считать иначе:

P(1,2)=P₁xP₂

0,6х0,6=0,36

Очевидно, что шансов попасть двумя ракетами одновременно меньше, чем попасть только одной из двух. Причем в 2,33 раза меньше.

Разницу между совместными и несовместными событиями можно показать на примере игральной кости. Если мы хотим определить с какой вероятностью на кубике выпадет 6, а с какой 5, речь будет идти о несовместных событиях. Одновременно нельзя получить и то и другое значение. А вот если взять две игральные кости, то одновременно выпасть 6 и 5 может и эти события будут совместными и независимыми.

Но в реальности, если обе ракеты будут запущены по одному и тому же самолету, события не будут независимы. Пока пилот будет уворачиваться от первой ракеты, шансы второй попасть в цель будут расти. Значит эти события все-таки как то связаны. Как быть в таком случае? Тут уж начинает работать в полную силу теория вероятностей, простым языком, без математики никак не обойтись.

Теорема Байеса

На помощь приходит формула Байеса, с помощью которой как раз и можно рассчитать вероятность одного события с учетом того, что произошло другое. В нашем примере, первая ракета промахнулась, но мы выстрелили второй. Итак, первый выстрел 0,7, а второй 0,7. Получится ли наверняка попасть?

Как рассчитать условную вероятность сбить самолет второй ракетой:

P(a|b)=P(a)хP(b|a)/P(b)

Тут нужно немного объяснить значения.

P(a|b) — это условная вероятность события b (вторая ракета поразила цель) в результате наступления события a (первая ракета промахнулась, но дала повышенный шанс второй).

P(a) — изначальная вероятность события a, без каких-то условий в нашем случае 1-0,7=0,3. Первая ракета прошла мимо.

P(b|a) — вероятность события b при условии, что гипотеза a (промах) верна. В нашем случае 0,7

P(b) — полная вероятность. Так как ракет у нас две, считать нужно так: Первый вариант: первая промахнулась, вторая попала (умножаем обе эти вероятности), Второй вариант: первая промахнулась и вторая промахнулась.

Первое событие — промах, попадание: 0,3х0,7=0,21

Второе событие — промах, промах: 0,3х0,3=0,09

Полная вероятность будет равна: 0,3х0,7+0,3х0,3=0,21+0,09=0,3

В итоге мы получим:

0,3*0,7/0,3=0,7

Как видите, все равно не рассчитывать на 100% попадание нельзя. Только на 70%. Все логично, ведь первая ракета свой шанс не использовала.

Если просчитать, что при промахе первой ракеты шансы второй увеличиваются (самолет уклонялся и ставил помехи первой, а вторая подоспела через 30 секунд, когда самолет уже не могу также уклонятся потеряв скорость). Пусть шансы выросли до 0,9.

P(a) — вероятность события a, промах 1-0,7=0,3.

P(b|a) — вероятность события b при условии, что шансы второй ракеты в результате выросли до 0,9

P(b) — полная вероятность. Первый вариант: первая промахнулась, вторая попала (0,3х0,9), Второй вариант: первая промахнулась и вторая промахнулась (0,3х0,1).

Первое событие — промах, попадание: 0,3х0,9=0,27

Второе событие — промах, промах: 0,3х0,1=0,03

Полная вероятность будет равна: 0,3х0,9+0,3х0,1=0,27+0,03=0,3

В итоге мы получим:

0,3*0,9/0,3=0,9

Конечно, ситуация описанная выше, условная. Это просто иллюстрация для расчета вероятности. Современные ракеты имеют табличные вероятности поражения цели близкие к 0,9, но стоит учитывать то, как эти значения получены.

Это некие симуляции для определенных условий, которых очень много. Например, цель движется навстречу или удаляется? С какого ракурса производится пуск, под каким углом? Цель малозаметная или нет, и какова ее эффективная площадь рассеивания?

А вот для более старых ракет воздух-воздух, можно получить реальные данные: количество выпущенных в боевых условиях ракет и количество сбитых противников. Только, эти, правдивые данные, уже устарели.

Какова вероятность угадать…

Как посчитать вероятность угадать PIN код банковской карточки состоящей из 4 цифр? Вероятность случайно угадать одну цифру 1 к 10 (от 0 до 9).

Если бы цифр было две то к каждому подбору одной цифры добавилось бы еще 10 вариантов другой. То есть, ставим на первое место 0, а на втором может быть любая из 10 цифр. Получается 10х10=100 комбинаций. То есть 10² (десять в квадрате).

Для комбинации из 4 цифр количество таких комбинаций составит 10⁴, то есть 10 000. А значит, вероятность подобрать такой код 1/10 000 или 0,0001. Довольно мало шансов, но только если все цифры действительно случайны, человеку придется попотеть. Но компьютер справится с подбором такого пароля за 200 наносекунд, а это 0,00000002 секунды.

А вот если в качестве пинкода использовать дату рождения то подбирать нужно уже не 4 случайные цифры. Две первые будут не случайными это или 19, или 20. Тогда комбинаций уже не десять тысяч, а всего 2х100=200. Сотня комбинаций для «19» и еще сотня для «20».

Такая это разностороння штука, вероятность. Согласитесь, иногда повседневное понятие может открыться с новой стороны, стоит попытаться разобраться в нем чуть-чуть лучше.