Интеграл простыми словами
Интегралы начинают изучать еще в школе. Но никто из учителей не говорит, зачем это нужно, как использовать эти знания в жизни. Мало кто вообще способен объяснить простыми словами, что такое интеграл, даже в университете. А мы попробуем.
Простыми словами…
Если коротко — интеграл, это сумма маленьких частей. Да, точно так же как и сложение 2+2, только части бесконечно маленькие, естественно и количество их — бесконечно.
★ Читайте также: Что такое бесконечность?
Знак интеграла ∫ — это вытянутая буква s (длинная «эс» существовала до начала 19-ого века писалась так — ſ). Первая буква слова summa.
Интегрирование — это сложение бесконечного количества частей бесконечно маленького значения.
Почему обычного «плюсования» не достаточно? Просто в алгебре нет никаких бесконечно малых или больших.
Бесконечно малая величина, это не какое-то конкретное число. Это абстракция, в реальном мире аналогов просто нет. Мы придумали так для удобства. Что-то настолько маленькое, что измерять его бессмысленно, но в расчетах использовать можно.
Слово «интеграл» происходит от латинского integer, что означает «целый». Даже в названии есть намек некое действие, что-то вроде восстановления чего-то целого.
Лучше всего показать «на пальцах», точнее на примере. Предположим, мы хотим узнать площадь фигуры как на картинке (она называется криволинейная трапеция, потому, что одна из сторон создана кривой линией). Зачем нам это нужно? Например, это часть крыла самолета и нужно знать его площадь.
Можно, конечно, разбить фигуру на две, прямоугольник и треугольник.
Но останется «пробел», площадь которого будет неизвестна. Чтобы увеличить точность, можно разделять на большее количество фигур, но все равно будет оставаться какая-то, пусть и небольшая, но «не закрашенная» область. Фигуры будут становиться все меньше и меньше… Очевидно, что процесс измельчения будет бесконечным, по крайней мере в воображении.
Но, в реальности, бесконечный процесс попросту не нужен. На самом деле вычислить такие вещи как площадь круга, длину диагонали квадрата или объем пирамиды невозможно, значение будет бесконечным, естественно, практического смысла бесконечные числа не имеют и мы их «округляем» до нужного предела точности — приблизительно.
Такой метод в Древней Греции назывался «исчерпание». Аналогия с водой тут очень уместна, если представить, что черпаешь из ведра при помощи кружки, то сначала кружки будут полные, но чем ближе ко дну, тем меньший объем будет попадать в кружку. Первой известной личностью «взявшей интеграл» был Архимед, он фактически решил задачу по нахождению площади круга и площади параболы ничего не зная ни про пределы, но даже про число «пи».
Чем больше будет фигур, тем больше будет и точность расчета и тем меньше будут сами фигурки. Если площадь маленьких фигурок будет бесконечно малой, то есть стремится к нулю (но не равняться ему), сумма всех этих площадей будет равна сумме большой фигуры с бесконечно большой точностью.
То же самое происходит при интегрировании:
Фигура на картинке разбивается на столбцы бесконечно маленькой ширины. Ширина у нас Х. Бесконечно малое число обозначается d. То есть dx — это бесконечно малый «икс».
Сложение бесконечного числа частей бесконечно маленького размера это и есть интегрирование.
Чтобы узнать площадь фигуры нужна еще высота, а это y. Высота везде не одинаковая, она постоянно меняется. И мы знаем как именно! Ведь кривая может быть (а может и не быть, но в нашем случае так и есть) функцией y=f(x), то есть значение у меняется по закону (буква f об этом говорит) зависимому от х. Поэтому «эф от икс». Значит высота это f(x). Функция, кстати, тоже бесконечная.
Высота конкретного прямоугольничка, это значение функции в этой конкретной точке (почему точке, потому, что ширина полоски у нас бесконечно маленькая, мы так договорились в самом начале).
Площадь, это высота умноженная на ширину. За высоту можем брать и y и f(x), они равны. За ширину у нас играет dx. Итак, момент истины:
f(x)*dx или f(x)dx
f(x)dx — площадь нашего маленького столбика. В если собрать из все вместе, будет сумма бесконечно маленьких столбиков.
∫ f(x)dx
Осталось только указать, что интересуемся мы конкретным значением. Наша кривая, это часть параболы f(x)=x2.
∫ x2dx
А площадь нужна не бесконечной фигуры, а той что начинается от 1 и закачивается на 5. Если написать эти цифры над и под значком интеграла, получится определенный интеграл.
Собственно и все, интеграл — это сумма бесконечно малых приращений (то есть значений) какой-то функции. Не сложно и не страшно, если не усложнять.
Что мы делаем? Разрезаем фигуру на «ленточки» изменяем площадь этих ленточек и собираем все обратно (суммируем).
Интересно, везде идет речь о сумме, а площадь считается умножением. Парадокс? Нет, умножение это ведь то же самое, что и сложение: 2+2+2+2=2*4. То же самое происходит и с площадью. Чтобы выяснить какова площадь прямоугольника со сторонами 5 и 4, перемножаем 5 на 4, или разделяем прямоугольник на 5 полосок шириной в «единицу» и складываем 4+4+4+4+4=5*4=20.
Никакого противоречия здесь нет. Вот только умножение работает в случае одинаковых величин, простых фигур или прямолинейного движения без ускорения. В остальных случаях — интегрирование.
Зачем нужен интеграл
Из примера выше уже понято, что одна из полезных задач интегрирования — это расчет площади криволинейных фигур. В любой сложной ситуации, если сложность эта заключается криволинейности или неравномерности мы используем интеграл.
Но лучший способ объяснить, что такое интеграл простыми словами — показать еще пару примеров. Как когда-то в детстве объяснили сложение на яблоках. Для чего интеграл может понадобиться?
Предположим, нужно построить храм кому-то из древнегреческих богов, такой чтобы место в нем хватило всем, крыша была прямоугольной, а колоны круглыми, ведь так красивее (а еще прочнее).
Давление колонны на фундамент легко посчитать, если она квадратного сечения, делим силу на площадь и вуаля. А если колонна круглого сечения? Какова площадь круга?
Можно конечно, не напрягаться, и заменить круг эквивалентным квадратом (квадратура круга), но каким? На всякий случай побольше, чтобы наверняка ничего не развалилось. Но это не наш метод, особенно, если ни бесконечного числа рабочих, ни бесконечного числа мрамора в действительности нет и взять негде, а казнить за неэффективное использование бюджета никто не запрещает.
Прием с эквивалентом площади на самом деле простой, использовался древними людьми. Очень-очень древние греки ничего не знали об интегрировании, а Архимед еще не родился, тем не менее, чтобы рассчитать площадь круга, в него выкладывались камешки. Когда круг заполнялся, камешки собирались и раскладывались в виде квадрата. Чем меньше камешки тем… Ничего не напоминает?
Еще примеры из жизни
Конечно, в физике интеграл «берут» постоянно. Вместо Х, может быть время, и тогда мы будем иметь дело с функцией времени, такой, например, как скорость. Ускорение — это скорость изменения скорости. Скорость, это скорость изменения координат. Пробежавшись от ускорения к скорости мы уже дважды использовали интеграл.
В обратную сторону: первая производная пути, это скорость, вторая производная — ускорение. Если ускорение равно нулю, значит скорость не менялась.
Интегрирование и дифференцирование, такие же «парочка» как и умножение и деление, суммирование и вычитание, только не с цифрами, а с функциями. Это взаимно-обратные операции. В случае производной, мы не «складываем», а «отнимаем».
Если проинтегрировав функцию изменения скорости (ускорение) получим константу (число, например, 60, а не формулу y=2x), значит, скорость не изменялась со временем, ускорения не было. Если, взяв приводную (дифференциал) функции скорости по времени, получим ноль — скорость не менялась, ускорение равно нулю.
То есть, имея в своем распоряжении какую-то функцию (зависимость чего-то от чего-то), мы можем ее дифференцировать или интегрировать. Точно также как если бы умножали и или, вычитали и складывали обычные числа.
Например, у нас есть функция изменения координат от времени. В реальном мире мы вышли на пробежку. Бежал наш виртуальный спортсмен 30 минут, первые 10 минут очень быстро, вторые 10 минут уже с одышкой, ну а последние 10 прошел пешком.
Очевидно, что координаты бегуна в начале и в конце разные (он же не стоял на месте). Если координаты менялись — скорость не равнялась нулю.
Скорость не была одинаковой, а менялась в зависимости от времени (больше времени, больше усталость, меньше скорость).
Итак, у нас есть функция изменения координат. Первая производная даст нам новую функцию — изменения координат, вторая производная — функцию ускорения. И первая и вторая функции зависят от одной и той же переменной — времени.
Еще один пример, вычисление массы. Масса, это произведение плотности на объем. Если плотность и объем одинаковы (это стакан воды) никаких проблем нет. А если плотность меняется (тот же стакан, только с коктейлем в несколько слоев)? В таком случае нужно знать закон (зависимость с которой изменяться плотность жидкости в стакане).
Пусть это будет 2x2. Применяем магию интегрирования — (2x3)/3. Теперь осталось подставить вместо Х нужные значения глубины (от ноля на поверхности до значения на дне стакана) и получим массу неоднородной(!) жидкости, без взвешивания.
Если вам такие примеры не близки, то представьте себе, что взяли кредит под сложный процент. Тогда ваш долг будет расти не линейно. И вы будете интегрировать…
Если нужно узнать какую работу нужно затратить на перемещение предмета не по прямой, а если, нужно рассчитать лучшую цену, зная зависимость спроса от предложения, а если нужно посчитать за какое время рабочие выкопают яму, если это не роботы, а живые люди, которые устают со временем, а если…
Если посмотреть вокруг, не найдется в реальном мире ни идеальных фигур, ни ровных графиков, ни равномерного движения без ускорения, ни линейных зависимостей в поведении человека «разумного».
Все эти простые штуки из науки, просто частные случаи. А значит, в реальном мире интеграл более полезен, чем кажется. Конечно, кривые сложнее прямых и именно поэтому всю свою историю люди упрощали себе жизнь: делили поле прямыми, на квадраты и прямоугольники при помощи натянутой веревки. Считали среднюю скорость, а не мгновенную в каждой точке маршрута, полагали, что тело прошенное под углом к горизонту летит по параболе, а не баллистической кривой… Но, просто — не значит точно.
Говоря простым языком, интегрирование — это такой же инструмент, как и суммирование, в нем нет никаких особых тайн и сложностей. Кроме одной — представить себе бесконечность сложнее, чем натуральные числа, у которых есть наглядные представления в природе. Но справляемся же мы как-то с представлениями таких абстракций как «ноль» или «отрицательное число». С матанализом просто нужно чуть больше воображения.
Ну а если уж совсем просто, для гуманитариев, то производная винограда — это вино. Интеграл вина — это виноград.
Пожалуйста!
Спасибо!
Здравствуйте, отличная статья. Как раз сегодня на работе пытались вспомнить, что такое интеграл и дифференциал. Учась в школах и даже в институтах, мы до конца этого не понимали, хоть и решали задачи как положено. И только теперь, после вашего разъяснения, мы наконец то представили себе наглядно, в чем суть этих полезных вычислений.
Здравствуйте. Спасибо за отличное «разжовывание» этих понятий!!!! Внимательно почитала отзывы и натолкнулась на отзыв взрослого человека- Степана- и он ничего не понял. Смею предположить, что он уже забыл не только, что такое интеграл, но и само значение слова «функция», да и » парабола » наверняка тоже..)) . Видимо по этой причине ничего и не понимает)
Спасибо, я старался объяснить понятно. Мне в свое время не смогли этого объяснить.
более понятного и более простого объяснения самой сути интеграла не встречал. Автору большущее спасибо.
Всё логично в статье и для начального анализа более чем годится. А анализ пределов вам понадобится позже, при самых малых на момент ваших расчётов величинах, которые не повлияют координально на конечный результат и точность ваших проектых величин. Деффирент вам в помощь!
Когда-то в институте, преподаватель математики нам говорила, что без знания интегрального исчисления мы не сможем прожить в современном мире и дня. Мне уже 70 лет и я работал в кострукторском отделе, но нигде и никогда не пришлось использовать этот раздел математики.
Хотя статья написана очень интересно. Было бы хорошо использовать подобное изложение материала в учебниках. Большое спасибо за Ваш труд.
«Ну а если уж совсем просто, для гуманитариев, то производная винограда — это вино. Интеграл вина — это виноград.»
В жизни наверное да, так и есть производная винограда это вино, так как вино производят из винограда. Но в математике скорее так — виноград это производная винограда, так как в каждой точке вина есть виноград(даже виноградина). А вот интеграл винограда это уже вино, так как это сумма всех виноградин.)))
«Да уж, упростили понимание. В одном тесте объяснять несколько базовых понятий матанализа, таких как бесконечность, бесконечно малые величины не упрощает понимание, а запутывает…» Ничего не запутывает. Понятие предела появилось после открытия дифференцирования через 200 лет. Что как бы наталкивает на мысль что предел не такая простая вещь для понимания, а в учебниках предел стоит раньше чем производная. Вот что конкретно и запутывает, так как для понимания производной и интеграла на интуитивном уровне предел совсем не нужен. Хотя сам по себе предел замечательная вещь, даже без приложения к производной или интегралу.
А вот опечатки да запутывают, хотя наверное нет ни одного текста по математике без ошибок. «Итак, у нас есть функция изменения координат. Первая производная даст нам новую функцию — изменения координат, вторая производная — функцию ускорения.» Наверно первая производная все же скорость, а не путь.
Спасибо за отзыв. Как раз это и была цель. Показать, что на самом деле это просто. Мне повезло с преподавателем на первом курсе университета, он объяснил. В школе никто не мог этого сделать, сами не понимали. Но раз в программе написано, то надо решать примеры…
очеь хорошая статья. Объяснение простое и понятное. Я наконец то понял смысл интеграла! Огромное вам спасибо!
Нет, математики придумали себе науку, что считать то, что нужно посчитать. Но вы можете не верить в математику и перестать пользоваться интернетом и мобильной связью, не летать на самолетах, не ездить на машине…В общем, везде, все, где применялась математика не для вас, ведь мы » пришли ни к чему»
Вы, отличный Учитель!
Я, как взрослый человек, мало что понял. Одно ясно: математики придумали себе науку, чтобы красиво выглядеть перед скромными людьми.
Запутываете на ровном месте пространными словами. Вы бестолковые учителя. Начали ни с чего и пришли ни к чему.
Отличное описание.
Никогда и нигде подобного простого описания я не встречал.
Но как обойтись без этого всего отвечая на вопрос «Зачем это все нужно?»
Да уж, упростили понимание. В одном тесте объяснять несколько базовых понятий матанализа, таких как бесконечность, бесконечно малые величины не упрощает понимание, а запутывает. Логично было бы сначала обьяснить их, а затем переходить к интегралам. Для упрощения понимания геометрического смысла интеграла можно обойтись без бесконечности и бесконечно малых величин. Тем более, что на практике интегралы берутся численными методами, конечным числом операций с заданной точностью. Бесконечность не используется.