Что такое функция?

Это слово используется очень часто. И в научном диспуте и обычной болтовне… Но кто и из нас точно знает, о чем идет речь? Что такое функция?

Простое объяснение функции — это зависимость, связь или действие. Все зависит от контекста, но к концу этой статьи все станет ясно и понятно (и самому автору тоже).

История функции

Само слово “функция” — латинского происхождения. С латыни оно переводится как “выполнение” или “совершение”, что в принципе одно и то же — действие. Функционировать, и сейчас означает выполнять какое-то действие.

Функция в математике

В математике функция означает — зависимость. Это самое простое и короткое объяснение. Но для тех, кому еще не стало все понятно…

Больше всего трудностей с пониманием как обычно нам дарит как раз математика. Термин функция в математике появился, лишь в 17-м веке. Хотя само явление было известно гораздо раньше именно в переписке двух математиков Бернули и Лейбница это слово было употреблено в значении очень близком к современному.

Функция существовала в математике и до этого, просто общепринятого термина и его определение не было. Например, не менее известные, Пьер Ферма (автор теоремы своего имени), Рене Декарт и даже Ньютон, отлично понимали предмет, но не пользовались термином.

Первое определение функции в математике дал Леонард Эйлер в 1751 году. До Эйлера функцию объясняли как:

Некоторое сопоставление постоянных и переменных

Эйлер же выразился намного более определенно:

Эйлер считал, что функция — это соответствие между парами чисел

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых…

Зависимость одного множества чисел от другого и есть функция. В то время, когда знаменитый математик написал эти слова, он был участником так называемого спора о струне.

Итак, зависимость (или связь или соответствие) одного множества от другого.

Эта зависимость обозначается буквой ƒ

y=ƒ(x)

Здесь x это аргумент функции, или независимая переменная, а y — зависимая переменная или “функция икс”.

Это можно прочитать как “каждому значению игрек соответствует определенное (а определяется оно законом f(x)) значение икс” или “игрек зависит от икс по некоторому закону.”

То есть когда какие либо два набора (множества) чисел или объектов связаны между собой по какому-то закону, мы имеем дело с функцией. Икс и игрек это просто буквы которые принято использовать сами по себе они ничего не значат, можно написать любые другие.

Например: Давление воды, это функция глубины.

p=f(h)

Чем глубже, тем выше будет давление. Пословица “Чем дальше в лес, тем больше дров” — тоже функция (количества дров от расстояния), а “Как с гуся вода” — уже нет. Потому, что гусь с водой никаким законом не связан.

Запись y=f(x) говорит о том, что между х и у есть связь, но непонятно какая. Она может быть у=х (каждому игреку свой икс), а может и у=2х (каждому игреку соответствует икс умноженный на два). Зависимость может быть любой, но она должна быть.




Функция в физике

Функция — может быть, например, величиной изменяющейся с течением времени (или не времени, а чего-то другого, просто время более понятно).

Например, скорость это функция изменения расстояния от времени. Если расстояние пройденное за определенное время разделить на это время получим — скорость.

v=s/t  x=f(t) функция изменения координаты по времени. Можно сказать ”зависимость изменения координат от времени.”

Физика, как наука “о природе” помогает лучше понять математику.

Давайте представим самую обычную ситуацию. Человек куда-то идет. За первый час он прошел 5 километров, за второй еще 5, потом еще…Через 3 часа он устал, и начал идти медленнее — 4 км…. В конечном итоге (через 5 часов прогулки, и вовсе остановился, чтобы отдохнуть.

  1. Первый час — 5 км
  2. Второй — 5 км
  3. Третий — 5 км
  4. Четвертый — 4 км
  5. Пятый — 3 км
  6. Шестой — 0 км

Мы гуляли 5 часов и протопали 5+5+5+4+3=22 километра (воображаемый человек не курит и гуляет в удобной обуви). Зависит ли пройденное расстояние от времени? Конечно да, чем дальше гуляем, тем дальше окажемся от дома. Расстояние зависит от времени — это функция. В столбике выше у нас ее табличное выражение.

График функции

Причем в первые три часа функция линейная, а дальше — уже нет. Почему? В реальном мире, из-за усталости скорость уменьшилась. А в “мире науки”. Если взять изобретение господина Декарта и нарисовать то, что у нас в таблице.

Получится график функции или ее графическое изображение. На графике видно, что первые 3 часа наш пешеход шел с одинаковой скоростью, линия прямая (зеленого цвета). Он устал и начал идти медленнее, и с каждым шагом все медленнее и медленнее (оранжевая кривая линия). Если бы линия была прямой все время, мы бы преодолели расстояние в 25 км. Но это не так. Делим расстояние 15 км на 3 часа и получаем скорость 5 км/ч делим 4 на 1 час и 3 тоже на 1 и получаем скорости 4 км/ч и 3 км/ч.

Но прелесть зависимости в том, что если мы захотим узнать, какая скорость была через 4 часа и 30 минут, достаточно провести линию снизу вверх до пересечения с графиком (синяя точка) и справа налево до оси на которой находится расстояние и поделить одно на другое (расстояние на время). Можно даже узнать, что будет если не остановится и не отдыхать. Продлеваем график еще на один час и вуаля:

Ну это на графике, а в самой первой таблице нет времени 4:30 и нет ничего после 6-ого часа.

Нет и не нужно. Функция — это зависимость и выразить ее можно еще одним способом — аналитическим. Получится формула.

x=f(t)

Здесь t — это аргумент функции, такой же, как и “икс” в абзаце о математике. А “икс” обозначения координаты которая меняется в зависимости от времени t.

Зная по какому закону время зависит от расстояния, можно рассчитать скорость в любой момент времени.

В нашем примере закон у=5х или s=5t, но только на участке от нуля до трех, дальше зависимость нелинейная и отражается кривой линией. Но

С другой стороны, есть значение слова “действие” (если еще не забыли). Кто с кем и что делает? В нашем примере расстояние меняется со временем. Это то же самое, что и “время изменяет расстояние”? В принципе, да вполне логично.

Математики вообще могут сказать что, “оператор f действует из множества х в множество y”.

Функция — роль и предназначение

Функция молотка — забивание гвоздей. А Центрального банка (не единственная) — выдача кредитов банкам помельче.

Вот мы и вернулись к первоначальному значению латинского слова “выполнять”. Молоток (выполняет работу) по забиванию гвоздей. Банк (выполняет работу) по выдаче кредитов. В обоих случаях есть и связь одного с другим и какое-то действие оправдывающее существование и молотка и банка.

В программировании функция — это код выполняющий определенную задачу. Подпрограмма которую можно “вызывать” (обычно много раз) для выполнения некой задачи. Вот пример из php (языка, который используется на этом сайте):

function sum($x,$y){
return $x+$y;
}

Даже не будучи программистом становится понятно, что функция по имени «sum» суммирует 2 переменные.

Итак функция, это зависимость, или работа, или предназначение… Зависит от контекста, но всегда есть минимум две сущности (может быть и больше) связанные каким-то правилом или законом, которые действуют одна на другую. Что-то с чем-то связано, кто-то на что-то оказывает влияние. Такая одновременно и простое и сложное, почти философское понятие, но встречается нам каждый день.

Поделиться:

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *