Чему равен корень из двух

Это не самое знаменитое число в математике, все знают о числе пи, экспоненте или золотой пропорции. А вот просто корень из двух, даже отдельного имени не заслужил. Но все таки в этом числе много интересного.

Квадратный корень из двух

Итак откуда вообще берется такое странное число и почему мы не записываем его в нормальном виде, а пишем √2?

Дело в том, что «квадратный корень из двух» — это иррациональное число. То есть его нельзя записать в виде простой дроби m/n. То есть m не делится на n без остатка. А раз дроби нет, то и в десятичном виде, это число будет бесконечно длинным.

Чему равен корень из двух?

1,4142135623730950488016887242096980785696…

Или с точностью до четвертого знака после запятой:

1,4142

Откуда же берется такое неудобное число? Из геометрии.

Если взять квадрат со стороной равной единице и провести диагональ в нем, то длинна этой диагонали и будет равняться √2.

То есть мы можем бесконечно точно вычислять длину диагонали такого квадрата, но никогда не получим точное значение.

Если длинна стороны квадрата это a, то по теореме Пифагора можно вычислить и длину диагонали с:

a²+a²=с²

Пока все правильно и кажется не сложным. Вот только, давайте попробуем посчитать длину диагонали… Не получится!

Кто открыл корень из двух?

Есть такая легенда:

Давним давно, в 6 веке до нашей эры один из учеников Пифагора решал задачу про диагональ квадрата с помощью теоремы Пифагора.

Но квадрат был необычной, со стороной равной единице.

Получается что:

a²+a²=c² — сумма квадратов сторон квадрата равна квадрату диагонали

Если сторона квадрата a=1, то 1²+1²=c²

То есть 2²=c², значит диагональ c=√2

Все бы ничего да вот только Пифагорейцы были не совсем ученым, а скорее религиозной сектой. Они верили, что все в мире может быть выражено через числа, а сами числа имеют мистические свойства. Они считали, что все в мире можно выразить через целые числа.

Появление иррационального числа, то есть такого которое нельзя точно даже посчитать вызвало такой шок у пифагорейцев, что они утопили того, кто открыл первое иррациональное число.

Но это только легенда.

На самом деле древним математикам пифагорейской школы принадлежит не только открытие числа «корень из двух» но и доказательство его иррациональности и даже методика расчета с помощью аппроксимации.

Что такое иррациональные числа

Корень из двух — первое иррациональное число. Но есть и другие.

Иррациональное число — это такое число которое нельзя представить в виде дроби m/n если и m и n — целые числа n не равно нулю. Простыми словами, в десятичном виде такое число имеет длинный бесконечный хвост после запятой числа в котором не повторяются циклично.

Еще проще — такое число нельзя точно посчитать, можно только бесконечно приближаться к его значению.

Вообще слово «рацио» означает соотношение. То есть рациональные числа можно выразить с помощью дроби, а иррациональные — нет.

Самые известные иррациональные числа:

• Число пи — отношения длинны окружности к его радиусу, то есть L/D. Равняется пи примерно 3,142857142857143…. Нам известно 62,8 триллиона знака после запятой!
• Число e — Оно же число Эйлера или основание натурально логарифма. Равняется число е примерно 2,71828182845904523536… Появилось с результате решения задачи о сложных процентах. Рассчитано до 31 триллион знаков после запятой
• Число ϕ — или «золотое сечение» или «божественная пропорция». Число фи равняется примерно 1,618033988… Использовалось древними архитекторами и художниками для создания красивых и правильных пропорций своих произведений. В природе встречается очень часто.
• √3 и √5 тоже иррациональные числа

Что интересного в иррациональных числах?

• Если умножить да иррациональных числа можно результате получить иррациональное или целое число
• Иррациональных чисел больше чем рациональных
• Мы чаще встречаемся с рациональными числами, поэтому мало замечаем иррациональные
• Количество иррациональных чисел бесконечно

Впервые люди столкнулись с иррациональными числами в геометрии. Расчет длинны диагонали квадрата не всегда может быть точным, а отношение длинны окружности к диаметру — никогда. Далее в расчетах тои дела начали возникать «неправильные» и «неудобные» числа которые невозможно вразить в десятичном виде точно.

Интересные факты про корень из двух:

• √2 — перове обнаруженное иррациональное число в истории
• √2 х √2 = 2
• √2 — используется в музыке в системе равномерной темперации, чтобы гитара или пианино могли играть во всех тональностях
• √2 — используется для расчетов в 3D графике и 3D играх для расчета расстояний и нормализации векторов
• Это число также называют «Константа Пифагора», хотя сам Пифагор к нему не имеет отношения
• Отношение длинны большой стороны к меньшей в бумаге формата А4 равно √2 (с точностью до 4 знаков). Сделано так для того, чтобы при складывании листа по полям пропорции его сохранялись

Итак корень из двух, было первым иррациональным числом, но не стало самым известным, так как используется довольно редко. У его более успешных конкурентов (π или е) есть даже свои праздники в календаре.

Но именно корень из двух сломало математику древних греков одновременно открыв новую страницу в математике — иррациональные числа.