Что такое логарифм

Одна из самых непонятных математических операций — это логарифм. Зачем нужен логарифм, как и где его используют практически никто не знает. Кажется, что это что-то скучное и нужно только математикам.

Но на самом деле, это важно и даже интересно. Логарифм встречается везде от радиосигнала в Wi-Fi роутере до раковины улитки.

Что такое логарифм простыми словами

Логарифм — это обратная операция возведению в степень. Вот так просто. Есть умножение и деление, а есть возведение в степень и логарифмирование.

Простыми словами логарифм отвечает на вопрос: «в какую степень нужно возвести число, чтобы получить нужный результат».

Например: log₂(8)=? означает, что мы ищем степень в которую нужно возвести 2 чтобы получить 8. log₂(8)=3 потому, что 2³=8.

Если вам все еще не понятно, что такое логарифм и зачем он нужен, вы не одиноки. Логарифмирование, это не интуитивная операция и очень долго математики его не использовали вовсе.

Панцирь улитки — это логарифмическая спираль

История

До появления логарифмов жизнь у математиков (и всех кому приходилось много считать) была сложной.

Умножение и деление больших чисел, извлечение корней и степеней было очень-очень трудоемким. Приходилось повторять много операций много раз.

Кто придумал логарифм

Логарифмы изобрел шотландский математик Джон Напер в начале 17-го века. Именно он написал трактат «Описание удивительного закона логарифмов». В этой работе он показал как превращать умножение в сложение, а деление — в вычитание с помощью логарифмов.

Как? Вместо того чтобы перемножать два больших числа, нужно:

Сначала найти их логарифмы. Потом сложить их. А потом обратным преобразованием получить результат.

Например: нужно умножить два числа 1234 × 5678.

Умножение в столбик потребует много операций. Это долго и есть риск сделать ошибку. Можете посчитать прямо сейчас, результат будет 7006652.

На самом деле нужно 28 операций умножения и сложения, чтобы перемножить два четырехзначные числа.

А вот как можно сделать логарифмами:

1. Вычисляем десятичные логарифмы каждого числа:

log₁₀(1234) ≈ 3,0913
log₁₀(5678) ≈ 3,7542

2. Суммируем логарифмы:

3,0913 + 3,7542 = 6,8455

3. Находим число соответствующее логарифму 6,8455.

10^6,8455 (десять в степени 6,8455) ≈ 7006652

Вот так вот «просто». Всего 3 действия вместо 28!

Вот только как ответить на вопрос, в какую степень нужно возвести 10 чтобы получить 5678? Как вообще это посчитать? Разве стало проще?

Очень просто. Непер создал логарифмические таблицы. То есть посчитал все заранее. В его трактате были рассчитаны логарифмы синуса, косинуса и тангенса, то что было нужно астрономам.

Палочки Непера

Еще одно изобретение Непера можно назвать первым калькулятором. Знаменитые палочки Непера (или кости Напера) — набор из доски и палочек со значениями, которые позволяли перемножать и делить девятизначные числа.

Для этого нужно было просто правильно разложить палочки на доске и посчитать цифры в правильном ряду.

Например: чтобы умножить 836 на 3, нужно сложить палочки под номерами 8, 3, 6 и посмотреть на ряд 3.

Читаем справа на лево суммы в диагоналях:

• Самое правое число — 8
• Складываем цифры во второй диагонали справа — 9+1 =10. Записываем ноль и 1 переносим влево
• Складываем цифры в следующей диагонали — 4+0+1 (добавляем единицу перенесенную из левой диагонали)
• Последняя диагональ — 2

Ответ: 836 х 3 = 2508

Фактически, это умножение решеткой или Индийский метод умножения. Только все сделано заранее и достаточно просто правильно раскладывать «палочки».

Фактически, палочки Напера, это таблица умножения в другой форме. Заменяет умножение (умножили все заранее) на сложение. Единственная проблема, умножать удобно и быстро, а делить — нет.

Логарифмическая таблица

Метод Непера — все посчитать заранее был сразу же тепло принят всем научным сообществом. Множество математиков начали создавать свои логарифмические таблицы.

Вот как работает логарифмическая таблица:

Например, нужно умножить два числа: 120 × 23.

В таблице находим соответствующие десятичные логарифмы:

• 120=1,20×10² — log₁₀(1,20) = 0,0792
• 23=2,30×10¹ — log₁₀(2,30) = 0,3617

Применяем то самое удивительное свойство логарифмов о котором писал Непер:

log(ab)=log(a)+log(b) — произведение двух чисел равно сумме логарифмов этих чисел!

Вот только нужно не забыть добавить степени, потому что в таблице у нас были другие числа:

• log(120)=0,0792+2=2,0792
• log⁡(23)=0,3617+1=1,3617

Складываем:

2,0792+1,3617=3,4409 — это мы нашли степень числа 10.

10^3,4409= ?

Нужно снова посмотреть в таблицу логарифмов и узнать что:

10^3,4409 ≈ 2759

Точное значение 120 × 23 = 2760, при использовании таблицы логарифмов получалась погрешность, но это было небольшой платой за упрощение расчетов в разы.

То есть используя свойства логарифма можно заменить сложное и утомительное умножение, простым и веселым сложением! Ведь умножение, это то же самое что и сложение! Например 2 х 3 это то же самое что 2+2+2 или 3+3.

Но одним только умножением можно не ограничиваться и сделать логарифмические таблицы для других операций. Для извлечения корней, возведения в степень, тригонометрических функций много другого.

Логарифмическая линейка

Идем дальше по пути упрощения. Если можно рассчитать заранее результат умножения, то можно сделать то же самое для любых других сложных расчетов. Так и появилась логарифмическая линейка.

Логарифмическая линейка — это тоже счетная машина. Если взять две линейки, нанести на них значения и двигать относительно друг-друга, можно производить быстрые расчеты!

Как и в случае с таблицей, все значения рассчитаны заранее. Только вместо цифр используются деления на шкале.

Пользоваться логарифмической линейкой просто. Например, для умножения двух чисел:

1. Нужно совместить начало подвижной части линейки с первым числом
2. Найти второе число на подвижной же части
3. Посмотреть какое число находится напротив — это и будет результат

Точно так же можно с помощью такой линейки:

• Умножать и делить
• Возводить в степень и извлекать корни
• Умножать и делить на число пи
• Находить значения тригонометрических функций
• Переводить разные величины (например футы в сантиметры)
• Многое многое другое

Все зависит от того, какие именно насечки шкалы нанесены на линейку. Очень просто и очень эффективно. Правда точность расчетов будет не такой большой, из-за ограничений на точность самой шкалы. Просто очень сложно различать мелкие деления на глаз.

Чтобы иметь возможность умножать числа, шкала такой линейки сделана не линейной как обычно, а логарифмической.

Логарифмическая шкала

Логарифмическая шкала — это такая шкала, где каждое следующее деление пропорционально не сумме, а произведению. Простыми словами, на линейной шкале деления будут привычными: 0, 1, 2, 3… То есть каждый раз мы добавляем единицу.

А на логарифмической: 1, 10, 100, 1000… То есть каждое следующее значение будет больше не на один раз, а в 10 раз!

Шкала может быть и другой. Например: 2⁰ 2¹ 2² 2³ или 1, 2, 4, 8… То есть каждое деление в два раза больше предыдущего.

Это удобно когда разница между значениями очень большая (или очень маленькая) и важно видеть не на сколько это больше, а во сколько раз это больше.

Зачем нужен логарифм

Эта математическая операция нужна всем!

Она была использован для расчетов когда проектировался двигатель обычной машины. Для уточнения координат GPS в телефоне. Сжатия изображений на этой странице. Для построения шкалы звука в аудиоплеере.

Даже банки при начислении сложных процентов используют логарифмы.

Несколько примеров использования:

• Скорость ракеты меняется в зависимости от изменения ее массы, по логарифмическому закону. В знаменитой формуле Циолковского для реактивного движения «живет» натуральный логарифм*

Δv = v_e ln(m₀/m_f)

Где:

• • • Δv — изменение скорости
    • v_e — скорость истечения газа из сопла
    • ln — натуральный логарифм
    • m₀ — начальная масса ракеты
    • m_f — конечная масса ракеты (без топлива)

*Натуральный логарифм это логарифм с основанием числа е (число Эйлера ≈ 2,71). Для упрощения пишут не log_e а просто ln. Натуральный логарифм используется в формуле, потому что экспонента лучше описывает процесс изменения массы ракеты

• Громкость измеряется в децибелах (dB). Это логарифмическая функция. Изменение на +10 дБ означает 10 раз больше по мощности
• В термодинамике энтропия системы связана с логарифмом, она измеряет число микросостояний через натуральный логарифм
• Сжатие изображений — применяется логарифмическое преобразование яркости. Ведь человеческий глаз воспринимает яркость нелинейно. Некоторые детали можно вырезать и человек этого не заметит. А файл станет меньше
• GPS использует автоматическую регулировку усиления по логарифмической шкале и алгоритм под названием «фильтр Калмана» для более точного позиционирования
• Радиосвязь — мощность радиосигнала измеряется в децибел-милливаттах (dBm). Это логарифм от ватт. Wi-Fi — это тоже радио… Мощность сигнала измеряется в dBm (децибел-милливаттах). Например, уменьшение мощности сигнала в 1000 раз — это всего лишь минус 30 dBm. Благодаря логарифмам, даже огромные различия в мощности удобно представить короткой шкалой от 0 до −100 dBm
• Для расчета периода полураспада любого радиоактивного елемента используется натуральный логарифм. Просто потому, что количество вещества убывает по экспоненте. А натуральный логарифм — обратная функция экспоненциальной функции
• Звук в лесу или свет в воде затухают по экспоненте. Значит и тут потребуется натуральный логарифм, чтобы понять на каком расстоянии громкость звука упадет в n раз или на какой глубине интенсивность света уменьшится в n раз

Логарифм в природе

Это удивительно но логарифмы встречаются в природе. Точнее там встречается экспоненциальный закон. А натуральный логарифм — это ведь обратная функция экспоненты. Например:

• Популяция животных или бактерий растет по экспоненте. Если мы хотим рассчитать, через какое время количество животных вырастет в 5 раз, нам понадобится натуральный логарифм
• В раковинах моллюсков или в подсолнухе можно тоже обнаружить логарифм. Раковина растет по логарифмической спирали. И семена в подсолнухе расположены по логарифмической спирали, чтобы оптимально заполнить пространство
• Наша галактика Млечный путь, имеет 4 рукава, каждый из который — логарифмическая спираль
• Циклоны, антициклоны тоже закручиваются в такую спираль

Форма циклона — логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль — это спираль которая увеличивая радиус экспоненциально с каждым витком. Угол между касательной к спирали и радиусом из центра всегда одинаковый, поэтому она выглядит так гармонично.

Почему логарифм встречается в природе? Потому, что это выгодно.

Логарифмическая спираль возникает везде потому, что это сама оптимальная форма с точки зрения сохранения энергии и вещества: минимизирует потери энергии и сохраняет стабильность системы. Вот почему:

• Каждый виток спирали пропорционален предыдущему. Это экономит энергию, так как система не меняет форму при масштабировании
• Угол между радиусом и касательной к спирали не меняется, что обеспечивает стабильность. В галактиках это предотвращает гравитационный коллапс, в циклонах — хаотическое завихрение

Почему логарифмы так удобны?

Возьмем для примера радиосигнал. Известно, что радиоволны ослабевают не линейно, а по степенному закону (интенсивность обратно пропорциональна квадрату расстояния). Логарифм делает эту зависимость линейной — и это удобно для расчетов.

Тот же Wi-Fi роутер постоянно решает задачу: увеличить или уменьшить мощность антенны?

Если бы расчеты велись напрямую в ваттах это считалось в ваттах — пришлось бы оперировать такими маленькими значениями как 0,00000000002 Ватт (средняя мощность сигнала или −77 dBm). Логарифм решает эту проблему. Расчеты становятся проще.

Свойства логарифмов

Свойства которые Джон Непер назвал удивительными выглядят так:

1. log_a(b x c)=log_a(b)+log_a(c) — то есть произведение двух чисел, это то же самое что сумма их логарифмов
2. log_a(b / c)=log_a(b)-log_a(c) — то есть деление двух чисел, это то же самое что разница их логарифмов
3. log_a(1)=0 — логарифм единицы равен нулю, потому что любое число в степени ноль — единица. Даже ноль в степени ноль
4. log_a(a)=1 — логарифм основания — единица. Потому что любое число в степени единица равно самому себе
5. log_a(bⁿ)=n x log_a(b) — позволяет упростить извлечение корня или возведение в степень. Заменить его на умножение
6. log_b(c)=log_a(c) / log_a(b) — свойство которое позволяет переводить логарифм в любое нужно основание
7. log_a(1/b)= −log_a(b) — потому что 1/b=b⁻¹

Как и где используются логарифмы

Свойства логарифмов очень сильно упрощают вычисления, превращая умножение, деление и возведение в степень в более простые операции (сложение, вычитание, умножение на константу).

Натуральные логарифмы помогают анализировать экспоненциальные процессы: рост, затухание или масштабирование.

Логарифмы встречаются и в живой природе, и в физике, и в математике. Это просто очень удобно, вместо умножения — использовать сложение, а вместо возведение в степень — умножение.

Ну а то что природные процессы описываются логарифмическими функциями, вовсе не чудо. Это признак того, что в природе все законы рациональные, а процессы максимально эффективны.