Что значит среднее

Вы конечно знаете, что значит фраза «в среднем». Любой человек понимает, что такое «среднее значение». Но не каждый знает, что среднее бывает разным!

И разных ситуациях одно среднее будет правильным, а другое — нет, хотя набор данных один и тот же.

Понять, что такое среднее — просто. Вот высокое дерево, а от низкое, а это — среднее.

В школе нас учат как найти среднее значение. Тоже просто: собрали все значения, что есть и разделили на количество этих значений. Это называется «среднее арифметическое». С самого простого и начнем…

Среднее арифметическое

Это то самое среднее, о кортом говорят нам в школе. Казалось бы все просто:

1. Суммируем все значения
2. Делим на их количество
3. Получаем среднее значение

Когда можно использовать

1. Только если значений очень-очень много. Средняя температура за лето — это нормальный показатель, а вот средняя температура за два дня — нет.
2. Данные должны быть однородными*
3. Также данные, которые нужно усреднить, должны близкими по значению, иначе «среднее» становится бесполезным.

Дело в том, что среднее арифметическое очень плохо реагирует на так называемые «выбросы». То есть на ситуации когда одно из значений аномально большое или маленькое. А в реальной жизни так бывает часто.

Пример: Средняя зарплата в офисе

Предположим, что в компании работает 10 человек. Девять из них получают 100 долларов, а вот десятый (большой начальник) получает 10 тысяч.

Получается, что средняя зарплата — 1090 долларов (красная линия на графике). Но столько вообще никто не получает! Простые работники зарабатывают в 10 раз меньше, а их руководитель —  10 раз больше!

Среднее арифметическое в такой ситуации вообще становится бесполезным показателем. Такая ситуация хорошо описывается классической фразой «средняя температура по больнице» — интересно, но бессмысленно.

Как раз для таких случаев существует другая средняя величина — медиана (желтая линия на графике).

По английский среднее – Average. Но происходит оно от французского avarie или итальянского avaria. Это ситуация (авария то есть) когда торговое судно потерпело крушение и товар, который оно перевозило был потерян. Тогда убытки делились пропорционально между всему кто инвестировал деньги в это предприятие.

Что такое медиана

Медиана – это буквально «значение из середины» ряда чисел. Чтобы узнать медианное значение, нужно просто выбрать значение находящееся на одинаковом расстоянии от самого маленького и самого большого значения в ряде чисел.

Медиана — означает посередине

Например:

У нас есть значения 30, 80, 90, 65, 44, 180, 50.

1. Нужно упорядочить этот ряд от меньшого к большему
2. Выбрать середину

30, 44, 50, 65, 80, 90, 180.

Медианное значение — 65. Именно оно находится в середине ряда чисел. А вот среднее арифметическое для этих данных будет — 77.

В примере со средней зарплатой нужно использовать медиану, она дает лучшее представление о реальных доходах. Медианой зарплатой будет как раз 100 долларов.

Мода

Мода — это просто значение, которое встречается чаще всего. Примере с зарплатой, мода — это 100, так же как и медиана.

*Однородность данных — это важно. Нельзя при измерении среднего роста принимать во вменение баскетбольную команду вашего городка. Или в включать в расчеты средней зарплаты рабочих, топ менеджеров даже работающих в той же компании.

Среднее геометрическое

Еще одно полезное среднее. Чаще всего используется для оценки пропорциональных значений, например, темпов роста чего-либо.

Чтобы почитать среднее геометрическое нужно перемножить се значения и взять корень такой степени, сколько значений мы оцениваем. Из примера будет ясно как это делается.

Например, оценка доходности инвестиций

Представим, что в первый год мы получили прибыль в 50%, во второй — 20%. Ну, а в третий год потеряли -25%. Рассчитываем три значения значит корень будем брать из трех

Коэффициенты роста:

1. x 1,5
2. x 1.2
3. x 0.75

Геометрическое среднее: 1,5 х 1,2 х 0,75 = 1,35. А кубический корень будет равен ≈1,105. То есть средний прирост доходности инвестиций 10,5% в год.

Среднее арифметическое в этом случае показало бы 15% доходности.

А это неправильно, и это легко проверить. Предположим что инвестиция это 1000 долларов.

• Первый год: 1000+1000 х 1,5=1500
• Второй год: 1000+1000 х 1,2=1800
• Третий год: 1000+1000 х 0,75=1350

За три года прибыль составила 350 долларов. Если разделить 350 на 3 получим 11,7%, что намного ближе к среднему геометрическому чем арифметическому.

Среднее гармоническое

Можно сказать, что это средняя арифметическая наоборот. Здесь нужно делить не сумму значений на их количество, а наоборот — количество делить на сумму «обратных значений».

Пример среднего гармонического

Если есть три числа: 2, 5 и 8 их среднее гармоническое считается так:

3/(1/2+1/5+1/8)= 3/(0,5+0,2+0,125)≈3,64

Среднее гармоническое удобно применять для расчета средней скорости.

Предположим, что машина проехала расстояние в 100 километров одну сторону со скоростью 100 км/час, а обратно — со скоростью 50 км/час. Какой была средняя скорость?

Если применить школьную арифметику, то: (100+50)/2=75 км/час

А если использовать среднюю гармоническую:

1. Берем «обратные» значения скоростей 1/50 и 1/100
2. Суммируем 1/50+1/100=0,02+0,01=0,03
3. Количество наблюдений (2) делим на 0,03. Получаем 66,7 км/час

Проверяем:

1. Путь туда занял: 100/50=2 часа
2. Путь обратно занял: 100/100= 1 час
3. Всего туда-обратно: 2+1=3 часа
4. Общее расстояние:100+100=200 км
5. Средняя скорость на 200 км пути: 200/3=66,7 км/час

Ну никак не 75 километров в час, если бы мы посчитали «по-простому». С использованием формулы средней гармонической величины рассчитывается средняя путевая скорость.

Это правильно так как при расчете учитывается время пути (как в проверке выше), то есть расчета среднюю путевую скорость мы учтем такие «мелочи» как простои и задержки.

Среднее взвешенное

Это такое среднее значение, где у каждого параметра есть свой определенный вес. То есть одно значение может быть важнее чем другое.

Например, нужно посчитать среднюю оценку по предметам, но некоторые предметы менее важные чем другие. Или рассчитать средневзвешенный курс валют. Для этого нужно:

1. Нужно умножить сумму каждого параметра на его вес
2. Просуммировать
3. Разделить на сумму весов, в не на количество параметров

• Физика — оценка 4, а вес (то есть важность оценки) 3
• Математика — 3, вес 3
• Биология — 5, вес 1

Среднее взвешенное = (4х3 + 3х3 + 5х1) / (3+3+1) = (12+9+5)/7 = 3,7

Среднее арифметическое тех же оценок было бы другим –  4.

Другой пример: средневзвешенный курс валют

Предположим, что мы три дня покупали перуанский соль за багамские доллары.

• Первый день — 1000 S/ по курсу 3,2
• Второй день — 3000 S/ по курсу 3,1
• Третий день — 2000 S/ по курсу 3,4

Нужно объем валюты каждого дня умножить на курс и эту сумму разделить на сумму объемов за каждый день. Так мы учтем курс покупки за каждый день.

Средневзвешенный курс: (1000х3,2 + 3000х3,1 + 2000х3,4) / (1000+3000+2000) = 3,217

Другие средние

Это конечно не все средние величины которые используют в статистике, математике или физике.

Есть скользящее среднее, когда нужно сгладить какой-то «скачущий» график, например финансовый.

Эмпирическое среднее (иногда его называют выборочное среднее) — когда у нас нет сего набора данных, а есть только фрагмент, но мы считаем что среднее значение этого фрагмента будет примерно равняется среднему сей совокупности.

Среднее квадратическое — которое используют в теории вероятностей для расчета отклонения случайно величины от математического ожидания* (простыми словами среднее отклонение от среднего значения).

Математическое ожидание — аналог среднего арифметического в теории вероятностей

Как видите, количество различных средних очень большое, и считается они часто очень по-разному. Для каждого случая найдется что-то свое более точное.

Зачем считать среднее значение

Может показаться что средние значения в реальной жизни не нужны или по крайней мере используются нечасто. Математическая абстракция или развлечение для экономистов.

Ну что может означать средний уровень дохода, уровень интеллекта или средняя продолжительность жизни для обычного человека? Просто забавная цифра не несущая практического значения.

Но вот пример, когда такая величина просто необходима.

Представите, что вам нужно спроектировать самолет который будет перевозить 100 пассажиров на 2000 километров.

Вопрос: а сколько будут весить 100 пассажиров?

Мы же не хотим знать вес каждого пассажира каждого рейса, для этого их бы приходилось взвешивать. Все люди разные и у всех будет разный багаж.

Тут и пригодится средний вес пассажира и его багажа. Просто возьмем средний вес 70 килограмм, добавим средний вес багажа 15 килограмм и умножим на 100. Наш самолет должен поднимать в воздух 8,5 тонн полезного груза. Это хорошая цифра для начала расчетов.

Среднее значение как раз таки и нужно чтобы обобщать данные, обнаруживать тенденции и принимать решения не в частотных случаях, в  целом. Это упрощает расчеты и делает принятие решений на основе данных проще и надежнее.