Квадратура круга

Есть в истории одна замечательная математическая задача, которая превратилась из простого развлечения для ума философов древней Греции, в весьма непростую проблему, которая оказала влияние на науку в огромных масштабах… Хотя, так и не была решена. Сначала все казалось простым: как нарисовать квадрат такой же площади как круг?

Квадратура круга

Задача не имела особой практической ценности для древних математиков. Египтяне знали, как связан диаметр круга и его площадь. В Египте площадь круга считалась так: S=(8/9*d)2. Но ведь саму площадь земельных участков измеряли именно «квадратами», поэтому такой точности вполне хватало.

Но греки, прекрасно зная «египетскую математику» задались вопросом, как именно можно построить квадрат имея только циркуль и линейку. И принялись искать ответ. Оказалось, что все очень сложно. Для начало нужно выяснить как вообще посчитать площадь круга?

Проблемой занимался Гиппократ, Анаксагор, Динострат и Архимед, но никто так и не смог предложить окончательное решение. Хотя то, что делал, например, Архимед, намного опередило свое время. Великий ученый в своем труде «Измерение круга» вывел сразу 3 теоремы.

Решение Архимеда

Откуда берется площадь круга?

Из треугольника

Площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, если один его катет — это радиус, а второй — длинна окружности. Объясняется это просто. Если взять круг и разрезать (лучше мысленно) его на меньшие круги, то их можно уложить в треугольник.

На рисунке ниже видно, что синий круг «разворачивается» в прямую меньше длинны чем красный. Итак, каждая новая лента будет короче предыдущей. Самая длинная — ВС в треугольнике, она же L, то есть длинна окружности.

Площадь круга и треугольника

Считаем площадь треугольника: S=(AB*BC)/2 То же самое что и S=(R*L)/2. Все правильно. Только, что такое длинна круга? Мы то знаем, что это диаметр (или 2 радиуса) умноженное на число «пи», а вот Архимеду откуда это было знать? И главное, как с помощью линейки нарисовать линию длинной в «пи».

Квадратура круга

Если взять круг и «разрезать» его на 4 части получится 4 равных равнобедренных «треугольника» (только одна из сторон у них будет не прямой). Две стороны будут равняться радиусу (красные линии), а третья 1/4 длинны круга.

Далее собираем 4 части вместе как показано на рисунке выше. Радиус к радиусу. Получим интересный рисунок. Две ровные стороны и две кривые. Ровные — радиусы, а две «волны» сверху и снизу будут равняться половине длинны круга. На что это похоже? На кривобокий параллелограмм. Но это пока.




Начинаем делить круг на более мелкие части и собирать их снова. Получаем почти прямоугольник, боковушки у которого по-прежнему R, а вот верхняя и нижняя часть все те же волны, все той же длинны L/2. Но с каждым делением «горбики» становятся все меньше и меньше  и вот они уже почти незаметны. Делить надо до тех пор, пока он не превратится в почти прямоугольник.

Когда кусочки будут настолько мелкими, что получится прямоугольник, его площадь будет легко посчитать, умножить длину одной стороны на длину другой (a*b). В примере выше сторона «a» это R (радиус круга), сторона «b» — L/2 (длинны) при условии, что части фигуры будут бесконечно маленькими их будет бесконечно много. Площадь круга равняется:

S=R*L/2

Длинна окружности (L) равняется диаметру умноженному на число «пи» (π). Итак, L=π*d=π*(R+R)=2πR. Вот только числа такого тогда еще не знали, жаль.

А если поставить вместо L получится:

S=R*(2πR/2)=πR2

Числа «пи» Архимед не знал и не могу знать, потому, что оно иррационально (это будет доказано только в 19 веке), а такие числа в его время еще не открыли. Сам знаменитый математик предпочитал немного другое решение, при помощи спирали. Но интересно совсем другое, фактически метод Архимеда, это  — интеграл. На самом деле иррациональное число очень сложно начертить с помощью линейки. Представьте, что диаметр равен единице, тогда длинна окружности равна «пи», а теперь начертите отрезок такой длинны (это же бесконечная дробь).

Из движения

Другой грек, Гиппократ Хиосский для решения все той же задачи создал специальную кривую квадратрису. Которая так же как и «античный интеграл» опередила свое время.

Квадратриса

Средние века и немного позже

Тренировали свой ум решая нетривиальную задачу такие уважаемые ученые как Фибоначчи Пизанский и Леонардо да Винчи, Гюйгенс и Кеплер….

Цилиндр Леонардо да Винчи

Знаменитый ученый предложил очень хитроумное решение. Как обычно за ним водилось — «механическое». Леонардо предложил взять цилиндр, высота которого равнялась бы половине диаметра окружности. Далее, этот цилиндр нужно было обмакнуть в чернила (можно в воображении) и прокатить по бумаге один раз.

Квадратура круга Леонардо да Винчи

Получится прямоугольник высота которого будет равна половине радиуса R/2, а ширина — длине окружности (мы ведь один раз «промокнули» цилиндр). А площадь этого прямоугольника считается просто:

S=R/2*L=R/2*2πR=πR2

Проще простого, линейки и циркуля вполне достаточно… Но что такое «длинна окружности»? Это сейчас мы знаем о свойствах числа «пи», а каково было людям прошлого?

Но в случае с да Винчи, ничего знать и не требовалось, достаточно промерять длинную сторону прямоугольника линейкой, чтобы узнать длину окружности, никакого «пи» не нужно.

В конце-концов Парижская академия отказалась рассматривать решения и про квадратуру, и про трисекцию угла, и про удвоение куба и… про изобретение вечного двигателя. Ведь кому-то развлечение, а кому-то это все читать и писать рецензии.

В 19-м веке и вовсе было доказано, что число «пи» иррационально и тресендентно, а значит извлечь из него квадратный корень невозможно.

Получается, что, если взять круг диаметром равным единице, получится что уравнение х2=πR2 превращается в х2=π, а сам х равен «корень из пи», а этого сделать нельзя. Отсюда делается вывод, что линейки и циркуля совершенно не достаточно для решения задачи о квадратуре круга.

Последствия решения задачи

Так что же в итоге? Задача не может быть решена и это доказано, зато сколько интересного в математику и геометрию задачка без решения привнесла:

  • иррациональные числа (пи)
  • трансендентные числа (тоже пи)
  • квадратриса
  • «почти» интегрирование
  • множество хитроумных (и не очень решений)

Иногда для человечества полезно решать нерешаемые задачи, в остатке получается гораздо больше полезного, чем если бы задача была решена.

Поделиться:

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *