Квадратура круга

Есть в истории одна замечательная математическая задача, которая превратилась из простого развлечения для ума философов древней Греции, в весьма непростую проблему, которая оказала влияние на науку в огромных масштабах…

Хотя, так и не была решена. Сначала все казалось простым: как нарисовать квадрат такой же площади как круг?

Квадратура круга

Задача о квадратуре круга не имела особой практической ценности для древних математиков. Египтяне знали, как связан диаметр круга и его площадь. В Египте площадь круга считалась так: S=(8/9*d)².

Но ведь саму площадь земельных участков измеряли именно «квадратами», поэтому такой точности вполне хватало.

Но греки, прекрасно зная «египетскую математику» задались вопросом, как именно можно построить квадрат имея только циркуль и линейку. И принялись искать ответ. Оказалось, что все очень сложно. Для начало нужно выяснить как вообще посчитать площадь круга?

Что такое квадратура круга простыми словами?

Это задача о том, как построить квадрат такой же площади как  уже имеющийся круг с помочью циркуля и линейки. С практической точки зрения, ее можно рассматривать как способ найти площадь круга. Ведь если мы можем имея круг начертить такой же квадрат, то посчитать площадь квадрата проще.

Но древних математиков интересовала интеллектуальная сторона дела, решить сложную задачу первым.

Проблемой занимался Гиппократ, Анаксагор, Динострат и Архимед, но никто так и не смог предложить окончательное решение.

Хотя то, что делал Архимед, намного опередило свое время. Великий ученый в своем труде «Измерение круга» вывел сразу 3 теоремы.

Решение Архимеда

Откуда берется площадь круга?

Из треугольника

Площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, если один его катет — это радиус, а второй — длинна окружности. Объясняется это просто. Если взять круг и разрезать (лучше мысленно) его на меньшие круги, то их можно уложить в треугольник.

На рисунке ниже видно, что синий круг «разворачивается» в прямую большей длинны чем красный. Итак, каждая новая лента будет короче предыдущей. Самая длинная — ВС в треугольнике, она же L, то есть длинна окружности.

Считаем площадь треугольника: S=(AB*BC)/2 То же самое что и S=(R*L)/2. Все правильно. Только, что такое длинна круга? Мы то знаем, что это диаметр (или 2 радиуса) умноженное на число пи, а вот Архимеду откуда это было знать? И главное, как с помощью линейки нарисовать линию длинной в «пи».

Если взять круг и «разрезать» его на 4 части получится 4 равных равнобедренных «треугольника» (только одна из сторон у них будет не прямой). Две стороны будут равняться радиусу (красные линии), а третья 1/4 длинны круга.

Далее собираем 4 части вместе как показано на рисунке выше. Радиус к радиусу. Получим интересный рисунок. Две ровные стороны и две кривые. Ровные — радиусы, а две «волны» сверху и снизу будут равняться половине длинны круга. На что это похоже? На кривобокий параллелограмм. Но это пока.

Начинаем делить круг на более мелкие части и собирать их снова. Получаем почти прямоугольник, боковушки у которого по-прежнему R, а вот верхняя и нижняя часть все те же волны, все той же длинны L/2.

Но с каждым делением «горбики» становятся все меньше и меньше  и вот они уже почти незаметны. Делить надо до тех пор, пока он не превратится в почти прямоугольник.

Когда кусочки будут настолько мелкими, что получится прямоугольник, его площадь будет легко посчитать, умножить длину одной стороны на длину другой (a*b). В примере выше сторона «a» это R (радиус круга), сторона «b» — L/2 (длинны) при условии, что части фигуры будут бесконечно маленькими их будет бесконечно много. Площадь круга равняется:

S=R*L/2

Длинна окружности (L) равняется диаметру умноженному на число «пи» (π). Итак, L=π*d=π*(R+R)=2πR. Вот только числа такого тогда еще не знали, жаль.

А если поставить вместо L получится:

S=R*(2πR/2)=πR²

Числа «пи» Архимед не знал и не могу знать, потому, что оно иррационально (это будет доказано только в 19 веке), а такие числа в его время еще не открыли.

Сам знаменитый математик предпочитал немного другое решение, при помощи спирали. Но интересно совсем другое, фактически метод Архимеда, это  — интеграл. На самом деле иррациональное число очень сложно начертить с помощью линейки. Представьте, что диаметр равен единице, тогда длинна окружности равна «пи», а теперь начертите отрезок такой длинны (это же бесконечная дробь).

Из движения

Другой грек, Гиппократ Хиосский для решения все той же задачи создал специальную кривую квадратрису. Которая так же как и «античный интеграл» опередила свое время.

Средние века и немного позже

Тренировали свой ум решая нетривиальную задачу такие уважаемые ученые как Фибоначчи Пизанский и Леонардо да Винчи, Гюйгенс и Кеплер….

Цилиндр Леонардо да Винчи

Знаменитый ученый предложил очень хитроумное решение. Как обычно за ним водилось — «механическое». Леонардо предложил взять цилиндр, высота которого равнялась бы половине диаметра окружности. Далее, этот цилиндр нужно было обмакнуть в чернила (можно в воображении) и прокатить по бумаге один раз.

Получится прямоугольник высота которого будет равна половине радиуса R/2, а ширина — длине окружности (мы ведь один раз «промокнули» цилиндр). А площадь этого прямоугольника считается просто:

S=R/2*L=R/2*2πR=πR²

Проще простого, линейки и циркуля вполне достаточно… Но что такое «длинна окружности»? Это сейчас мы знаем о свойствах числа «пи», а каково было людям прошлого?

Но в случае с да Винчи, ничего знать и не требовалось, достаточно промерять длинную сторону прямоугольника линейкой, чтобы узнать длину окружности, никакого «пи» не нужно.

Задача без решения

В конце-концов Парижская академия отказалась рассматривать решения и про квадратуру, и про трисекцию угла, и про удвоение куба и… про изобретение вечного двигателя. Ведь кому-то развлечение, а кому-то это все читать и писать рецензии.

В 19-м веке и вовсе было доказано, что число «пи» иррационально и трансцендентно, а значит извлечь из него квадратный корень невозможно.

Получается, что, если взять круг диаметром равным единице, получится что уравнение х²=πR² превращается в х²=π, а сам х равен «корень из пи», а этого сделать нельзя. Отсюда делается вывод, что линейки и циркуля совершенно не достаточно для решения задачи о квадратуре круга.

Последствия не решения задачи о квадратуре круга

Так что же в итоге? «Сделать из круга квадрат» не получается. Задача не может быть решена и это доказано, зато сколько интересного в математику и геометрию задачка без решения привнесла:

• иррациональные числа (пи)
• трансцендентные числа (тоже пи)
• квадратриса
• «почти» интегрирование
• множество хитроумных (и не очень решений)

Иногда для человечества полезно решать нерешаемые задачи, в остатке получается гораздо больше полезного, чем если бы такая задача была решена.