Що таке середнє

Ви, звичайно, знаєте, що означає фраза “в середньому”. Будь-яка людина розуміє, що таке “середнє значення”. Але не кожен знає, що середнє буває різним! І в різних ситуаціях одне середнє буде правильним, а інше — ні, хоча набір даних той самий.

Зрозуміти, що таке середнє — просто. Ось високе дерево, а от низьке, а це — середнє. У школі нас вчать, як знайти середнє значення. Теж просто: зібрали всі значення, що є, і поділили на кількість цих значень. Це називається “середнє арифметичне”. Почнемо з найпростішого.

Середнє арифметичне

Це те саме середнє, про яке нам говорять у школі. Здавалося б, усе просто:

1. Складаємо всі значення
2. Ділимо на їх кількість
3. Отримуємо середнє значення

Коли можна використовувати

1. Тільки якщо значень дуже-дуже багато. Середня температура за літо — це нормальний показник, а от середня температура за два дні — ні.
2. Дані мають бути однорідними*
3. Також дані, які потрібно усереднити, мають бути близькими за значенням, інакше “середнє” стає безкорисним.

Справа в тому, що середнє арифметичне дуже погано реагує на так звані “викиди”. Тобто на ситуації, коли одне зі значень аномально велике чи мале. А в реальному житті таке трапляється часто.

Приклад: Середня зарплата в офісі

Припустимо, що в компанії працює 10 осіб. Дев’ятеро з них отримують 100 доларів, а десятий (великий начальник) отримує 10 тисяч.

Виходить, що середня зарплата — 1090 доларів (червона лінія на графіку). Але стільки взагалі ніхто не отримує! Звичайні працівники заробляють у 10 разів менше, а їхній керівник — у 10 разів більше!

Середнє арифметичне в такій ситуації взагалі стає безкорисним показником. Така ситуація добре описується класичною фразою “середня температура по лікарні” — цікаво, але беззмістовно.

Якраз для таких випадків існує інша середня величина — медіана (жовта лінія на графіку).

Англійською середнє — average. Але походить воно від французького avarie або італійського avaria. Це ситуація (тобто аварія), коли торговельне судно зазнало ушкоджень і товар, який воно перевозило, був втрачений. Тоді збитки розподілялися пропорційно між усіма, хто інвестував гроші в цю оборудку.

Що таке медіана

Медіана – це буквально “значення з середини” ряду чисел. Щоб дізнатися медіанне значення, потрібно просто вибрати значення, що знаходиться на однаковій відстані від самого маленького і самого великого значення в ряді чисел.

Медіана — означає посередині

Наприклад:

У нас є значення 30, 80, 90, 65, 44, 180, 50.

1. Потрібно впорядкувати цей ряд від меншого до більшого
2. Вибрати середину

30, 44, 50, 65, 80, 90, 180.

Медіанне значення — 65. Саме воно знаходиться в середині ряду чисел. А от середнє арифметичне для цих даних буде — 77.

У прикладі із середньою зарплатою потрібно використовувати медіану, вона дає краще уявлення про реальні доходи. Медіаною зарплати буде якраз 100 доларів.

Мода

Мода — це просто значення, яке зустрічається найчастіше. У прикладі із зарплатою мода — це 100, так само як і медіана.

*Однорідність даних — це важливо. Не можна при вимірюванні середнього зросту враховувати баскетбольну команду вашого містечка. Або включати до розрахунків середньої зарплати робітників, топменеджерів, навіть якщо вони працюють у тій самій компанії.

Середнє геометричне

Ще одна корисна середня величина. Найчастіше використовується для оцінки пропорційних значень, наприклад, темпів росту чогось.

Щоб порахувати середнє геометричне, потрібно перемножити всі значення і взяти корінь такого степеня, скільки значень ми оцінюємо. З прикладу буде зрозуміло, як це робиться.

Наприклад, оцінка доходності інвестицій

Уявімо, що в перший рік ми отримали прибуток у 50%, у другий — 20%. Ну а в третій рік втратили -25%. Розраховуємо три значення, отже, корінь будемо брати з трьох

Коефіцієнти росту:

1. x 1,5
2. x 1.2
3. x 0.75

Середнє геометричне: 1,5 х 1,2 х 0,75 = 1,35. А кубічний корінь буде ≈1,105. Тобто середній приріст доходності інвестицій — 10,5% на рік.

Середнє арифметичне в цьому випадку показало б 15% доходності.

А це неправильно, і це легко перевірити. Припустимо, що інвестиція — це 1000 доларів.

• Перший рік: 1000+1000 х 1,5=1500
• Другий рік: 1000+1000 х 1,2=1800
• Третій рік: 1000+1000 х 0,75=1350

За три роки прибуток склав 350 доларів. Якщо поділити 350 на 3, отримаємо 11,7%, що набагато ближче до середнього геометричного, ніж арифметичного.

Середнє гармонійне

Можна сказати, що це середнє арифметичне навпаки. Тут потрібно ділити не суму значень на їх кількість, а навпаки — кількість ділити на суму “обернених значень”.

Приклад середнього гармонійного

Якщо є три числа: 2, 5 і 8, їхнє середнє гармонійне вважається так:

3/(1/2+1/5+1/8)= 3/(0,5+0,2+0,125)≈3,64

Середнє гармонійне зручно застосовувати для розрахунку середньої швидкості.

Припустимо, що машина проїхала відстань у 100 кілометрів в один бік зі швидкістю 100 км/год, а назад — зі швидкістю 50 км/год. Якою була середня швидкість?

Якщо застосувати шкільну арифметику, то: (100+50)/2=75 км/год

А якщо використати середню гармонійну:

1. Беремо “обернені” значення швидкостей 1/50 і 1/100
2. Складаємо 1/50+1/100=0,02+0,01=0,03
3. Кількість спостережень (2) ділимо на 0,03. Отримуємо 66,7 км/год

Перевіряємо:

1. Шлях туди зайняв: 100/50=2 години
2. Шлях назад зайняв: 100/100= 1 година
3. Всього туди-назад: 2+1=3 години
4. Загальна відстань:100+100=200 км
5. Середня швидкість на 200 км шляху: 200/3=66,7 км/год

Ніяк не 75 кілометрів на годину, якби ми порахували “по-простому”. За допомогою формули середньої гармонійної величини розраховується середня шляхова швидкість.

Це правильно, оскільки при розрахунку враховується час шляху (як у перевірці вище), тобто при розрахунку середньої шляхової швидкості ми врахуємо такі “дрібниці”, як простої та затримки.

Середнє зважене

Це таке середнє значення, де у кожного параметра є свій певний вага. Тобто одне значення може бути важливішим за інше.

Наприклад, потрібно порахувати середню оцінку з предметів, але деякі предмети менш важливі, ніж інші. Або розрахувати середньозважений курс валюти. Для цього потрібно:

1. Помножити суму кожного параметра на його вагу
2. Підсумувати
3. Поділити на суму вагів, а не на кількість параметрів

• Фізика — оцінка 4, а вага (тобто важливість оцінки) 3
• Математика — 3, вага 3
• Біологія — 5, вага 1

Середнє зважене = (4х3 + 3х3 + 5х1) / (3+3+1) = (12+9+5)/7 = 3,7

Середнє арифметичне тих самих оцінок було б іншим — 4.

Інший приклад: середньозважений курс валюти

Припустимо, що ми три дні купували перуанський соль за багамські долари.

• Перший день — 1000 S/ за курсом 3,2
• Другий день — 3000 S/ за курсом 3,1
• Третій день — 2000 S/ за курсом 3,4

Потрібно об’єм валюти кожного дня помножити на курс і цю суму поділити на суму об’ємів за кожен день. Так ми врахуємо курс покупки за кожен день.

Середньозважений курс: (1000х3,2 + 3000х3,1 + 2000х3,4) / (1000+3000+2000) = 3,217

Інші середні

Це, звичайно, не всі середні величини, які використовують у статистиці, математиці чи фізиці.

Є ковзне середнє, коли потрібно згладити якийсь “стрибкий” графік, наприклад фінансовий.

Емпіричне середнє (іноді його називають вибіркове середнє) — коли у нас немає всього набору даних, а є лише фрагмент, але ми вважаємо, що середнє значення цього фрагмента буде приблизно дорівнювати середньому всієї сукупності.

Середнє квадратичне — яке використовують у теорії ймовірностей для розрахунку відхилення випадкової величини від математичного очікування* (простими словами — середнє відхилення від середнього значення).

Математичне очікування — аналог середнього арифметичного в теорії ймовірностей

Як бачите, кількість різних середніх дуже велика, і рахуються вони часто зовсім по-різному. Для кожного випадку знайдеться щось своє, точніше.

Навіщо рахувати середнє значення

Може здатися, що середні значення в реальному житті не потрібні або, принаймні, використовуються нечасто. Математична абстракція чи розвага для економістів.

Ну що може означати середній рівень доходу, рівень інтелекту чи середня тривалість життя для звичайної людини? Просто цікава цифра, що не несе практичного значення.

Але ось приклад, коли така величина просто необхідна.

Уявіть, що вам потрібно спроектувати літак, який перевозитиме 100 пасажирів на 2000 кілометрів.

Питання: а скільки важитимуть 100 пасажирів?

Ми ж не хочемо знати вагу кожного пасажира кожного рейсу, для цього їх довелося б зважувати. Усі люди різні, і в усіх буде різний багаж.

Ось тут і знадобиться середня вага пасажира та його багажу. Просто візьмемо середню вагу 70 кілограмів, додамо середню вагу багажу 15 кілограмів і помножимо на 100. Наш літак має піднімати в повітря 8,5 тонн корисного вантажу. Це хороша цифра для початку розрахунків.

Середнє значення якраз і потрібне для того, щоб узагальнювати дані, виявляти тенденції та приймати рішення не в окремих випадках, а в цілому. Це спрощує розрахунки і робить прийняття рішень на основі даних простішим і надійнішим.