Що означає нормально?

Нормально або ненормально. У будь-якій бесіді можна почути обидва варіанти. Але що таке “нормально”? Що означає це слово насправді? Як зрозуміти, де закінчується одне і починається вже інше? Непросте питання. Тим більше, якщо йдеться про нормальний розподіл у статистиці або такий складний предмет як людина.

Норма та нормаль

Що означає слово “норма”? Norma — латиною, це косинець. Дві дощечки з’єднані під прямим кутом. Такий складний інструмент використовувався при будівництві, зрозуміло для чого, будувати рівні стіни. Цими приладами користувалися ще у Стародавньому Єгипті, а може навіть ще раніше.

Normalis — означає лінію побудовану за допомогою кутника, під кутом 90 градусів — під прямим кутом.

Якби запитали у римлян, про значення слова “нормаль”, то почули б, що це щось правильне, пряме (у значенні 90 °).

У геометрії нормаль — означає перпендикуляр навіть сьогодні. Виходить, що нормально означає просто “під прямим кутом” або правильно, у переносному значенні.

У математиці саме так. Тут поки що все просто. Значення слова нормально — під прямим кутом.

Нормальний розподіл

Якщо взятися за статистику, буде складніше, але цікавіше. Тут значення слова нормально дещо інше. Існує поняття “нормальний розподіл”.

Якщо така назва здається не зовсім математичною, є інша — розподіл Гауса-Лапласа. Ось тепер усе по-науковому.

Отже, що таке нормальний розподіл простими словами? Насправді розподіл Гауса зустрічається всюди. Якщо взяти звичайний пісок, помістити в будь-яку ємність і висипати на землю вийде гірка, яка й представлятиме нормальний розподіл піщин від центру до країв.

Це відбувається тому, що всі піщинки мають майже однакову (хоча і різну якщо придивитися) форму і масу, сили тертя між ними практично однакові і розсипаються вони під дією однієї і тієї ж сили.

Отже, якщо взяти дуже багато значень які мало залежать одне від одного і розташувати на лінії вийде характерна крива Гауссового розподілу. Опустимо з верхньої точки перпендикуляр і ось вона, нормаль. Зліва та справа буде приблизно однакова кількість даних. У центрі те, що зустрічається найчастіше.

А найчастіше піщинки рівномірно розподіляються навколо точки в яку сипався пісок. Цей експеримент можна зробити кілька сотень разів, щоб переконатися, гірка завжди буде такої форми, якщо і пісок буде тим самим. А ось якщо до нього додати воду форма зміниться.

Простою мовою, нормальний розподіл означає такий набір значень, який створить однаковий малюнок (з припущеннями, звичайно) ліворуч і праворуч від перпендикуляра, який знаходиться в місці найбільш часто зустрічається значення.

Нормальні люди

Ось графік розподілу рівня інтелекту серед людей. Більшість людей нормальні їх IQ становить 100 одиниць.

Половина має значення менше 100 а друга половина — більше 100. А ось близько 3-5% результатів тесту будуть мати значення більше 140 балів і ще 3-5% — менше 60 .

Половина населення планети має рівень інтелекту від 90 до 110, вони  точно є нормальними.

Тобто, абсолютно нормально мати IQ=100. 112 — також нормально, і 90, і 96…

А ось 142 або 54 — не нормально! Це або надто високий, або надто низький рівень інтелекту. Як варіант, помилка у дослідженні.

Взагалі коефіцієнт інтелекту має такий симетричний графік просто тому, що його “підігнали” під закон нормального розподілу (або розподілу Гауса). Спочатку провели тестування, а вже потім більшості призначили значення 100 балів і так далі від більшого до меншого та в інший бік. Інакше в центрі могло виявитися якесь незручне значення, на кшталт 137,3.

Що означає нормально у статистиці?

У цьому випадку справа не в прямому куті, а в понятті “більшість”. Говорячи простими словами, нормально, це коли значення потрапляє у більшість вибірки або зустрічається найчастіше (80-90%) і ненормально, коли у що-небудь у меншості, зустрічається рідше (5%).

Чому саме 5%? Просто для зручності. Це може бути і 3% і 4,2%, і 10%… Немає жодних чітких вимог у статистиці, що вважається нормальним, а що вже не вважається. У кожному експерименті слід вирішувати, де він, поріг нормальності.

Чому саме iq 100 — це нормально? Просто для зручності. Може бути обрано будь-яке число, щоб поставити його до середини. Значення має сама шкала. Якби всередині стояло значення, наприклад, 90, то на крайніх значеннях шкали виявилися б цифри 160 і 40.

Ще одне зауваження про коефіцієнт інтелекту. Значення iq – це не показник розумових здібностей.

Ці цифри не ділять людей на геніїв та дурнів. Це лише статистичний показник. І показує він, строго кажучи, здатність людини вирішувати завдання із IQ тесту. Бажаєте підняти свій показник? Просто вирішуйте більше таких завдань.

Правило трьох сигм

Будь-яка випадкова величина, як правило, не може відхилитися від свого середнього значення більше ніж у 3 рази з ймовірністю 0,997.

Якщо ще простіше, то 99,7% всіх значень перебуватиме на відстані не більше 3? (3 сигма). Це емпіричне правило, а не закон, до того ж стосується лише випадкових чисел.

Але ним можна користуватися для зручності, все, що потрапляє в 99,7%, — нормально? Чи все ж таки краще 2 сигма — 0,95? А може 1 сигма – 0,68?

Якщо не йдеться про нормальний розподіл, то ймовірність відхилення більш ніж у 3 сигми становить 1/9 (тобто 0, 11). Або, інакше, з ймовірністю 8/9 значення не “вилізе” за 3? Значить, нормально, це 89%?

Що вважати нормальним?

У звичайному житті проблема та ж. Якщо ми хочемо вирішити, що щось нормально, а щось ні, потрібно домовитися про ту магічну цифру. Очевидно, що зріст 170 см, як і 180 см — це нормальне зріст для людини, тому що таких людей багато, дуже багато. А 2,2 метри — це вже аномалія, таких людей мало.

Але абсолютно незрозуміло, з якого значення можна вважати, що ріст вже не нормальний. Якщо 12% опитаних зізнаються, що мали галюцинації, вони ще нормальні, чи вже можна вважати їх хворими на шизофренію? Після якого значення можна вирішити, що нормально, а що ні?

У природі немає такої цифри, так само як і в статистиці. Не можна однозначно сказати, що нормально, добре це чи погано. Є сам закон (функція, крива на графіку, з іменами Гауса та Лапласа), а точки на ній доводиться вибирати самим. Сам закон нормального розподілу буде тим самим.

Але що цілком зрозуміло і без математики, це те, що все на світі (і ми в тому числі) різне і це якраз нормально.