Закон квадрата куба

Є речі, які нам показують у кіно, але які неможливі в реальному світі: гігантські крокуючі роботи, Годзілла, гігантські комахи, Людина-павук, люди з крилами, як у ангелів… “Заважає” всьому цьому один цікавий закон, який навіть не зовсім закон — закон куба квадрата. Давайте розберемося, чому деяка фантастика ніколи не втілиться в життя.

Закон квадрата куба простими словами

Це емпіричний закон, тобто заснований на досвіді. Це означає, що справа не у формулах і константах, точно щось порахувати за допомогою такого закону не можна, зате він абсолютно універсальний, простий і зрозумілий.

Отже, ось у чому справа:
Якщо збільшити лінійний розмір будь-якого предмета, його площа збільшиться пропорційно квадрату, а маса — пропорційно кубу!

Ось приклад:

1. 1. У нас є кубик розмірами 1 х 1 х 1 метр. Його площа — 6 квадратних метрів (кожна грань 1 м², а в кубика їх шість), його маса, припустимо, 100 кілограмів (зробили ми його з пінопласту)
   2. Збільшуємо розмір кубика в 2 рази, тепер це 2 х 2 х 2 метри
   3. Площа збільшилася в 4 рази і тепер це 24 квадратних метри. Площа однієї грані 2х2=4, а граней усього 6, 6х4=24. Або 6х2х2 → 6 х 2²
   4. Маса куба збільшилася в 8 разів і це вже буде 800 кілограмів. 100 x 2 x 2 x 2 → 100 х 2³

Подивіться на картинку… Видно, що якщо збільшити розмір куба в два рази (з одного метра до двох), то в новий куб можна помістити вісім кубиків попереднього розміру.

Ось те ж саме у вигляді таблиці:

Чому гігантські роботи неможливі

Неможливі не зараз, ні в майбутньому, тому що фізика завжди працюватиме однаково, як і економіка. Ми вже з’ясували, що якщо збільшити щось у два рази, то вага збільшиться у вісім разів. Але гігантський крокуючий робот має бути розміром із будинок, інакше який же він гігантський?

Висотою хоча б з десятиповерховий будинок! Давайте дуже приблизно порахуємо, скільки такий робот буде важити.

Робот Atlas від Boston Dynamics важить 90 кілограмів при зрості 1,5 метра. Висота десятиповерхового будинку – 30 метрів, дуже зручно, значить маленького робота потрібно збільшити в 20 разів.

І його маса буде 90 х 20³, тобто 90 х 20 х 20 х 20 = 720 000 кілограмів, або 720 тонн.

Дуже приблизно площа стопи робота Атлас — 0,05 квадратного метра, а двох — 0,1 квадратний метр. Ось ця площа збільшиться пропорційно квадрату. Тобто:
0,05х20х20=20 квадратних метрів для однієї ноги.

Тепер порахуємо найцікавіше — питомий тиск на ґрунт. P=F/S (вага, поділена на площу опори)

720/20х2=18 тонн на квадратний метр!

А що це означає?

Такий робот не зможе ходити скрізь, де захоче, йому потрібен буде або сухий і щільний ґрунт, або дорога, інакше він почне занурюватися при ходьбі. Це те ж саме, якщо пустити маленького Атласа погуляти по болоту — загрузне і не зможе ходити.

Ось навантаження, яке витримують різні матеріали дороги:

• Мокра земля або пісок — 100 кПа або 10 тонн на квадратний метр
• Суха земля — 300 кПа або 30 тонн на квадратний метр
• Асфальт – 500–1500 кПа або 510-1530 т/м²
• Бетон – 5000-8000 кПа або 5100-8160 т/м²

У нас тиск 18 тонн на квадратний метр, роботу точно доведеться дивитися під ноги, а краще гуляти виключно в місті. Буде краще. якщо розробники, збільшать площу стопи в 2 рази (до речі, часто великих роботів зображують саме з великими ногами). Та навіть якщо робота поставити на чотири чи шість ніг, він усе одно буде надзвичайно важким і чинитиме великий тиск на ґрунт. Є вихід — гусениці. Але тоді робот перестає бути крокуючим.

А що буде, наприклад, якщо згадати про інерцію? Якщо такий робот махне рукою, неймовірна інерція руку відірве. Потрібно мати дуже міцні конструкції, а це знову додаткова маса. Не дарма в мультиках і кіно такі роботи рухаються повільно, навіть творці мультфільмів розуміють, що швидкі рухи виглядатимуть неприродно.

А скільки коштуватиме виробництво такого робота? Навіть страшно подумати.

І головне питання, а навіщо потрібен такий робот?

Він може щось перевозити? Та ні, будь-який транспорт на колесах або гусеницях упорається краще.

Може для військових цілей? Знову ні. Робот буде дуже вразливим, він великий і в нього легко влучити, а будь-яке влучання або виведе з ладу важливий механізм, або перекине робота. Вішати на нього броню? Але чим більша площа бронювання, тим більша маса цієї броні, і робот стане ще важчим (у кубі!).

В реальному світі гігантських крокуючих роботів просто неможливі. Закон квадрата куба “заважає” їх зробити. А точніше, закон просто описує фізичну реальність. Вона часто не здається очевидною, але наступні приклади покажуть, що завжди і всюди все саме так.

Годзілла і гігантські комахи

У гігантських тварин будуть ті ж проблеми, що й у робота вище, але ще додадуться свої.
Наприклад, найперша Годзілла в кіно мала зріст 50 метрів (щоб бути вищою за будинки). Відповідно, маса такої тварини зросте пропорційно кубу висоти. Приблизно 3000 або 4000 тонн!

Кістки реальних тварин не здатні витримувати такі навантаження, потрібні високоміцні і при цьому легкі сплави. Ну або якісь фантастичні матеріали.

З’являються проблеми з теплообміном. Охолоджуватися тварина буде через площу поверхні. Площа змінюється за законом квадрата, а об’єм — куба. Тобто потрібні величезні засоби охолодження або потрібно буде пітніти тоннами вологи, щоб не перегрітися.

У слонів, наприклад, для охолодження є великі вуха, у Годзілли, мабуть, гребені на спині

Але найцікавіше, живій істоті потрібно щось їсти! Африканський слон за добу з’їдає 300 кілограмів трави, при цьому їсть він по 12 годин на добу.

Годзілла при своїх розмірах має з’їдати 2500 тонн м’яса або 6000 тонн трави. Для розуміння суті проблеми, це 8000 корів або 600 футбольних полів трави.

Гігантські тварини — ще більш неможливе явище, ніж гігантські роботи.

Таке таксі-комаха неможливо створити, зламаються ноги. Колесо куди практичніше.

У комах усе ще гірше зі зміною розмірів.

Зі збільшенням розміру вони не зможуть ходити. Незважаючи на те, що у комах 6 ніг, вони не знаходяться під центром маси, як у тварин і людей, а винесені за корпус. Це створює додатковий статичний момент. Уже при розмірі в 1 метр (дуже далеко до поняття “гігантський”, але такий мураха вже здатен налякати, чи не так?) ніжки комахи не витримають ваги тіла.

До того ж у комах немає легень. При більшому розмірі вони не зможуть дихати. Просто нічим втягувати в себе повітря. А його великій комасі знадобиться більше.

300 мільйонів років тому великі комахи (40 сантиметрів у довжину) населяли землю, але тоді кисню в атмосфері було в півтора раза більше.

Закон квадрата куба в природі

Чому діти не мерзнуть?

Ви, мабуть, помічали, що діти мерзнуть рідше, ніж дорослі. Коли мамі вже холодно, її дитині ще ні.

Усе просто, працює той же закон.

Наше тепло розсіюється пропорційно площі. Чим більша площа — тим швидше ми втрачаємо тепло, тобто починаємо мерзнути.

Площа тіла дитини п’яти років приблизно становить 0,7 квадратного метра, а ось дорослої людини — 1,8… Тобто більш ніж у 2,6 раза більше. А значить, і замерзати доросла людина буде швидше, якщо, звісно, дорослий і дитина будуть одягнені однаково.

При цьому, якщо зріст дитини в цьому віці — один метр, а дорослого 1,75, то дорослий усього на 75% вищий, а не в два чи в два з половиною рази.

З вагою те ж саме. Дитина важить у середньому 16 кілограмів, а дорослий — 70. Різниця в 4,4 раза!

Чому мураха може підняти в 10 разів більше своєї ваги?

Тому що мураха крихітна. Закон квадрата куба працює і в інший бік.

Наприклад, коник може стрибнути на відстань у 40 разів більшу за власну довжину! А ось кінь уже стрибає не далі, ніж на відстань, порівнянну з його довжиною. А слон узагалі не стрибає, занадто важкий.

З тієї ж причини у комах маленькі крильця і тоненькі ніжки. Збільшений до розмірів літака джміль літати не буде, великий мураха взагалі ніякий вантаж підняти не зможе, він навіть свою вагу втримати не зможе.

Чому люди не літають, як птахи

Якби людина відростила крила, як у птаха, то розмах цих крил мав би бути близько 7-8 метрів, щоб літати. Точніше, щоб планерувати, махати такими крилами буде неможливо. Ангелів зазвичай малюють із розмахом крил у 4-5 метрів не більше, а потрібно в 2 рази довше!

Для порівняння — 4 метри це розмах крила альбатроса, який важить усього 10 кілограмів.

Рівно з тієї ж причини ми літаємо на літаках із фіксованим крилом, а не на махольотах. Зробити великий махоліт — не вийде. Єдиний орнітоптер, що підняв людину, мав розмах крила 32 метри! І він не махав ними, як птах, а трохи згинав. Реальний літак Aero AT-3 із розмахом крила 7,5 метра піднімає в повітря і себе, і двох пасажирів. Просто тому, що у нього є двигун і махати крилами не потрібно.

Розмах крила Aero AT-3 – 7,55 метра

Застосування закону у фізиці

Чому складно будувати високі будівлі

При будівництві високих будівель закон квадрата куба також працює.

Збільшення висоти в два рази означає збільшення маси в 8 разів, а значить потрібні інші матеріали стін і зовсім інший фундамент. Також виникає проблема з обігрівом і опаленням.

Площа будівлі, через яку відбувається охолодження або нагрівання, збільшується за законом квадрата, а ось об’єм — кубічно. Але охолоджувати чи нагрівати потрібно саме об’єм! Значить, потрібні потужні системи кондиціонування.

Потужність системи кондиціонування найвищої будівлі у світі, Бурдж Халіфа — 53 Мегавати. Це можна порівняти з цілодобовим використанням авіадвигуна від пасажирського літака для вентиляції будівлі.

Чому складно зробити літак більшим

Великі літаки будувати набагато складніше, ніж маленькі. Адже підйомна сила залежить від площі крила. Якщо ми вирішимо збільшити підйомну силу в 2 рази і возити в два рази більше пасажирів, доведеться збільшити масу літака в 4 рази.

Зростання маси змусить збільшувати потужність двигунів і витрату палива, використовувати інші матеріали з більшою міцністю і бажано меншою питомою вагою. Загалом просте збільшення розміру літака неможливе, усі вигоди “з’їдає” збільшена за кубічним законом вага, доводиться проектувати літак заново.

У крилі літака Boeing 787 Dreamliner немає заклепок, так інженери зекономили пів тонни. Само крило зроблено з композитних матеріалів, щоб знизити вагу і збільшити розмір, довелося використовувати міцніші та легші матеріали.

Чому не можна побудувати великий космічний корабель

Насамперед заважає маса конструкції. Якщо ми хочемо створити великий космічний корабель для перевезення великої кількості людей, у нього буде великий об’єм і велика маса. Цю масу потрібно якось доставити в космос. Маса вантажу зростає кубічно, значить, так само зростатиме маса палива, яке потрібно, щоб вивести вантаж на орбіту.

Очевидно, що матеріали для будівництва потрібно добувати в космосі, щоб не тягати їх із землі.

Але проблема з охолодженням у космосі стоїть гостріше, ніж на землі.

Площа радіаторів міжнародної космічної станції — 1200 квадратних метрів, а там перебуває максимум 5-6 людей. А щоб колонізувати планету і колонія не вимерла з часом, потрібно відправити 400-500 людей

Але найбільша проблема — це інерція!

У більшості фільмів про космос космічні кораблі поводяться як літаки чи кораблі, якщо двигуни вимикаються, корабель зупиняється. Нам так звичніше, але це неправда.

У космосі при відключенні двигуна космічний корабель не зупиниться, він просто перестане прискорюватися. Здавалося б, хороша новина, немає опору, розігналися і летимо. Але в якийсь момент потрібно буде зупинитися, а опору немає!

Значить, на гальмування доведеться витратити стільки ж енергії, що й на розгін. Чим вища маса, тим вища інерція. Збільшення розміру космічного корабля в 2 рази збільшить його масу в 8 разів, а значить, і інерція виросте в 8 разів! І енергії на розгін і гальмування доведеться витратити настільки ж більше!

Підсумок

Розмір має значення! Щоразу, коли люди створюють щось велике, це по-справжньому серйозний крок в інженерному та економічному сенсі. Не можна просто взяти і збільшити міст, літак чи висоту будівлі, потрібно поважати закон квадрата-куба.