Закон квадрата куба

Есть вещи, которые нам показывают в кино, но которые невозможны в реальном мире: гигантские шагающие роботы, Годзилла, гигантские насекомые, Человек-паук, люди с крыльями как у ангелов… «Мешает» всему этому один интересный закон, который даже не совсем закон — закон квадрата куба. Давайте разберемся, почему некоторая фантастика никогда не воплотится в жизнь.

Закон квадрата куба простыми словами

Это эмпирический закон, то есть основанный на опыте. Это значит, что дело не в формулах и константах, посчитать что-то точно с помощь такого закона нельзя, зато он абсолютно универсальный, простой и понятный.

Итак вот в чем дело:

Если увеличить линейный размер любого предмета, его площадь увеличится пропорционально квадрата, а масса пропорционально куба!

Вот пример:

1. 1. У нас есть кубик размерами 1х1х1 метра. Его площадь — 6 квадратный метров (каждая грань 1 м², а всего кубика их шесть), его масса, допустим 100 килограмм (сделали его из пенопласта)
   2. Увеличиваем размер кубика в 2 раза, теперь это 2х2х2 метра
   3. Площадь увеличилась в 4 раза и теперь это 24 квадратных метра. Площадь одной грани 2х2=4, а граней всего 6, 6х4=24. Или 6х2х2 → 6 х 2²
   4. Масса куба увеличилась в 8 раз и это уже будет 800 килограмм. 100x2x2x2 → 100 х 2³

Посмотрите на картинку — видно, что если увеличить размер куба в два раза (с одного метра до двух), то в него можно поместить восемь кубиков прежнего размера.

Вот то же самое в виде таблицы:

Почему гигантские роботы невозможны

Невозможны не сейчас ни в будущем, потому что физика будет работать всегда одинаково, как и экономика. Мы уже выяснили, что если увеличить что-то в два раза, то вес увеличится в восемь раз. Но гигантский шагающий робот должен быть размером с дом, иначе какой же он гигантский?

Хотя бы высотой с десятиэтажный дом! Давайте очень приблизительно посчитаем, сколько такой робот будет весить.

Робот Atlas от Boston Dynamics весит 90 килограмм при росте 1,5 метра. Высота пятиэтажного дома – 30 метров, очень удобно, значит маленького робота нужно увеличить в 20 раз.

И его масса будет 90х20³ то есть 90х20х20х20=720 000 килограмм, или 720 тонн.

Очень приблизительно площадь стопы робота Атлас 0,05 квадратного метра, а двух — 0,1 квадратный метр. Вот эта площадь увеличится пропорционально квадрату. То есть:

0,05х20х20=20 квадратных метров для одной ноги.

Теперь посчитаем самое интересное — удельное давление на грунт. P=F/S (вес разделенный на площадь опоры)

720/20х2=18 тонн на квадратный метр!

А что это значит?

Такой робот не сможет ходить везде где вздумается, ему нужен будет или сухой и плотный грунт или дорога, иначе он начнет погружаться при ходьбе. Это то же самое если пустить маленького Атласа погулять по болоту — завязнет и не сможет ходить.

Вот нагрузка которую выдерживают разные материалы дороги:

• Мокрая земля или песок — 100 кПа или 10 тонн на квадратный метр
• Сухая земля — 300 кПа или 30 тонн на квадратный метр
• Асфальт – 500–1500 кПа или 510-1530 т/м²
• Бетон – 5000–8000 кПа или 5100-8160 т/м²
• Высокопрочный бетон – 10 000 кПа 10200 т/м²

У нас давление 18 тонн на квадратный метр, роботу точно придется смотреть под ноги, а лучше гулять исключительно в городе, по бетонным дорогам. Будет лучше увеличить площадь стопы в 2 раза (кстати часто больших роботов изображают именно с большими ногами). Даже если робота поставить на четыре или шесть ног, он все равно будет чудовищно тяжелым и оказывать большое давление на грунт. Есть выход  — гусеницы. Но тогда робот перестает быть шагающим.

А что будет, например, если вспомнить об инерции? Если такой робот взмахнет рукой, чудовищная инерция руку оторвет. Нужно иметь очень прочные конструкции, а это снова дополнительная масса. Не даром в мультиках и кино такие роботы двигаются медленно, даже создатели мультфильмов понимают, что быстрые движения будут выглядеть неестественно.

А сколько будет стоит производство такого робота? Даже страшно подумать.

И главный вопрос, а зачем нужен такой робот?

Он может что-то перевозить? Да нет, любой транспорт на колесах или гусеницах будет справляется лучше.

Может для военных целей? Снова нет. Робот будет сильно уязвим, он большой и в него легко попасть, а любое попадание или выведет из строя важный механизм, или опрокинет робота. Вешать на него броню? Но чем больше площадь бронирования, тем больше масса этой брони, и робот станет еще тяжелее (в кубе!).

Нет в реальном мире гигантские шагающие роботы просто невозможны. Закон квадрата куба «мешает» их сделать. А точнее, закон просто описывает физическую реальности. Она часто не кажется очевидной, но следующие примеры покажут что всегда и везде все именно так.

Годзилла и гигантские насекомые

У гигантских животных будут те же проблемы что и у робота выше, но еще и добавятся свои.

Например, самая первая Годзилла в кино была ростом 50 метров (чтобы быть выше домов). Соответственно и масса такого животного возрастет пропорционально куба высоты. Примерно 3000 или 4000 тонн!

Кости реальных животных не способны выдерживать такие нагрузки, нужны высокопрочные и при том легкие сплавы металлов. Ну или какие-то фантастические материалы.

Появляются проблемы с теплообменом. Охлаждаться животное будет через площадь поверхности. Площадь меняется по закону квадрата, а объем — куба. То есть нужны огромные средства охлаждения или нужно потеть тоннами, чтобы не перегреется.

У слонов, например, для охлаждения есть большие уши, у Годзиллы видимо гребни на спине

Но самое интересное, живому существу нужно что то есть!

Африканский слон в сутки съедает 300 килограмм травы, при том есть он по 12 часов в сутки.

Годзилла при своих размерах должна съедать 2500 тонн мяса или 6000 тонн травы. Для понимания сути проблемы, это 8000 коров или 600 футбольных полей травы.

Гигантские животные, еще более невозможное явление, чем гигантские роботы.

Такое такси-насекомое невозможно создать, сломаются ноги. Колесо куда как практичнее.

У насекомых все еще хуже с изменением размеров.

С увеличением размера они не смогут ходить. Несмотря на то, что у насекомых 6 ног, они не находятся под центром масс, как у животных и у людей, а выдвинуты за корпус. Это создает дополнительный статический момент. Уже при размене в 1 метр (очень далеко до понятия «гигантский», но такой муравей уже способен напугать, не так ли) ножки насекомого не выдержат вес тела.

К тому же у насекомых нет легких. При большем размене они не смогут дышать. Просто нечем втягивать в себя воздух. А его большому насекомому потребуется больше.

300 миллионов лет назад большие насекомые (40 сантиметров в длину) населяли землю, но тогда кислорода в атмосфере было в полтора раза больше.

Закон квадрата куба в природе

Почему дети не мерзнут?

Вы наверное замечали, что дети мерзнут реже, чем взрослые. Когда маме уже холодно, ее ребенку еще нет.

Все просто, работает тот же закон.

Наше тепло рассеивается пропорционально площади. Чем больше площадь — тем быстрее мы теряем тепло, то есть начинаем мерзнуть.

Площадь тела ребенка пяти лет примерно составляет 0,7 квадратного метра, а вот взрослого человека — 1,8… То есть более чем в 2,6 больше. А значит и замерзать взрослый человек будет быстрее. если, конечно одеты взрослый и ребенок будут одинаково.

При этом, если рост ребенка в этом возрасте — один метр, а взрослого 1,75, то взрослый всего на 75% выше, а не в два или в два с половиной раза.

С весом то же самое. Ребенок весит в среднем 16 килограмм, а взрослый — 70. Разница в 4,4 раза!

Почему муравей может поднять в 10 раз больше своего веса?

Потому, что муравей крохотный. Закон квадрата куба работает и в другую сторону.

Например кузнечик может прыгнуть на расстояние в 40 раз больше собственной длинны! А вот лошадь уже прыгает не дальше чем на расстояние сравнимое с ее длинной. А слон вообще не прыгает, слишком тяжелый.

По той же причине у насекомых маленькие крылышки и тоненькие ножки. Увеличенный в до размеров самолета шмель летать не будет, большой муравей вообще никакой груз поднять не сможет, он даже свой вес удержать не сможет.

Почему люди не летают как птицы

Если бы человек отрастил крылья как у птицы, то размах этих крыльев должен быть около 7-8 метров чтобы летать. Точнее чтобы планировать, махать такими крыльями будет невозможно. Ангелов обычно рисуют с размахом крыльев в 4-5 метров не больше, а нужно в 2 раз длиннее!

Для сравнения — 4 метра это размах крыла альбатроса, которой весит всего 10 килограмм.

Ровно по той же причине мы летаем на самолетах с фиксированным крылом, а не на махолетах. Сделать большой махолет — не получится. Единственный орнитоптер поднявший человека имел размах крыла 32 метра! И он не махал ими как птица, а немного изгибал. Реальный самолет Aero AT-3 с размахом крыла 7,5 метра поднимает в воздух и себя и двух пассажиров. Просто потому, что у него есть двигатель и махать крыльями не нужно.

Размах крыла Aero AT-3 – 7,55 метра

Применение закона из физики

Почему сложно строить высокие здания

При строительстве высоких зданий закон квадрата куба также работает.

Увеличение высоты в два раза означает увеличение массы в 8 раз, а значит нужны другие материалы стен и совсем другой фундамент. Также возникает проблема с обогревом и отоплением.

Площадь здания, через которую происходит охлаждение или нагрев увеличивается по закону квадрата, а вот объем — кубически. Но охлаждать или нагревать нужно именно объем! Значит нужны мощные системы кондиционирования.

Мощность системы кондиционирования самого высокого здания в мире, Бурдж Халифа — 53 Мега ватта. Это можно сравнить, с круглосуточным использованием авиадвигателя от пассажирского самолета для вентиляции здания.

Почему сложно сделать самолет больше

Большие самолеты строить намного сложение чем маленькие. Ведь подъемная сила зависит от площади крыла. Если мы решим увеличит подъемную силу в 2 раза и возит в два раза больше пассажиров, придется увеличить масса самолета в 4 раза.

Рост массы заставит увеличивать мощность двигателей и расход топлива, использовать другие материалы с большей прочностью и желательно меньшим удельным весов. В общем простое увеличение размера самолета невозможно, все выгоды «съедает» увеличенный по кубическому закону вес, приходится проектировать самолет заново.

В крыле самолета Boeing 787 Dreamliner нет заклепок, так инженеры сэкономили пол тонны. Само крыло сделано из композитах материалов, чтобы снизить вес и увеличить размер пришлось использовать более прочные и легкие материалы.

Почему нельзя построить большой космический корабль

В первую очередь мешает масса конструкции. Если мы ходим создать большой космический корабль для перевозки большого количества людей, у него будет большой объем и большая масса. Эту массу нужно как то доставить в космос. Масса груза растет кубически, значит ровно так же будет расти масса топлива которое нужно чтобы вывести груз на орбиту.

Очевидно что материалы для строительства нужно добывать в космосе, чтобы не таскать их с земли.

Но проблема с охлаждение в космосе стоит острее чем на земле.

Площадь радиаторов международной космической станции 1200 квадратный метров, а там находится 5-6 человек максимум. А чтобы колонизировать планету и колония не вымерла со временем, нужно отправить 400-500 человек

Но самая большая проблема, это инерция!

В большинстве фильмов про космос космические корабли ведут себя как самолеты или корабли, если двигатели выключаются, корабль останавливается. Нам так привычнее, но это не правда.

В космосе при отключение двигателя космический корабль не остановится, он просто перестанет ускоряться. Казалось бы хорошая новость, нет сопротивления, разогнались и летим. Но в какой то момент нужно будет остановиться, а сопротивления нет!

Значит на торможение придется потратить столько же энергии что и на разгон. Чем выше масса, тем выше инерция. Увеличение размера космического корабля в 2 раза увеличит его массу в 8 раз, а значит и инерция вырастет в 8 раз! И энергии на разгон и торможение придется потратить на столько же больше!

В итоге

Размер имеет значение! Каждый раз когда люди создают что-то большое, это по-настоящему серьезный шаг в инженерном и экономическом смысле. Нельзя просто взять и увеличить мост, самолет или высоту здания, нужно уважать закон квадрата-куба.