Ліміт або границя

Ліміти (або границі) — одна з найскладніших сутностей для розуміння в математиці. Важко пояснити просто, що таке ліміт, тому найчастіше цього ніхто і не робить.

І тим більше, мало хто з викладачів може навести приклад з життя, коли ліміти все-таки можуть стати в нагоді. Але ми спробуємо пояснити так, щоб було зрозуміло, нескладно і по суті. Як завжди “на пальцях”.

Що таке ліміт простими словами

Напевно найнаочніше, що можна згадати з історії, це знаменитий парадокс Зенона “Ахіллес і черепаха”. Зенон був філософом, а не математиком, тому міг цілком вільно обирати дотепний образ і не піклуватися про докази.

Ахіллес та черепаха біжать на перегонки. Черепаха починає першою, людина наздоганяє. Ахілес біжить швидше, але коли він пробігає 100 кроків, черепаха все одно проповзає один. Ще 100 кроків та ще один. Таким чином Ахіллес наближається до черепахи, але і вона трохи віддаляється від нього. Зенон робить висновок, що Ахіллес буде нескінченно до неї наближатися, але ніколи не наздожене черепаху!

У цій історії важливо не те, що насправді вона не реальна, а її “математичний зміст”. Людина наближається до черепахи, але ніколи її не наздоганяє. Тобто існує якась границя (черепаха) до якої наближається Ахіллес.

Говорячи простою мовою, ліміт (або границя) це таке значення, якого не можна досягти, але можна нескінченно близько до нього наблизитися.

Тобто в межах певного проміжку часу, Ахіллес дійсно не наздожене черепаху (часу не вистачить), але наблизиться до неї на нескінченно малу відстань.

Що таке ліміт в математиці

Варто відразу сказати, що визначення ліміту більше ніж одне, тому, що вони бувають різні. Є ліміт послідовності, а є ліміт функції.

Давайте розділимо число 10 навпіл:

10/2=5, і ще раз, 5/2=2,5 і ще…

Це послідовність n/2: 10…2,5…1,25…

Якщо робити це 20 разів вийде таке значення: 0,000019

А якщо зробити 100 разів, то таке: 0,0000000000000000000000000000016

Якщо ділити навпіл нескінченно, результат буде зменшуватися, в реальному житті, це буде вже фактично нуль, але в математиці, все ще не нуль… Границя цієї послідовності буде наближатися до нуля.

Якщо взяти другу послідовність, наприклад, n+1. 2…3…4…5…  і знову попрямуємо в нескінченність. Границя цієї послідовності теж буде наближатися до нескінченності.

Ще один приклад

Кидаємо монетку. Може випасти “орел”, а може і “решка”. Теорія ймовірності стверджує, що шанси завжди 50/50, тобто ймовірність “орла” — 1/2 = 0,5.

• Якщо зробити 10 кидків, може випасти не 5 і 5, а, наприклад, 4 і 6. Тобто 4 “орла” та 6 “решок” ймовірність – 0,4
• А якщо 100 кидків, 48/52 – 0,48
• А якщо 1000,  499/501 – 0,499
• 10 000, 4998/5002 – 0,4998

Кожного разу значення реальної ймовірності наближається до розрахункових 0,5. Щоб отримати ймовірність рівно 0,5, потрібно підкинути монетку нескінченну кількість разів.

Тобто за умови, що кількість кидків прагне до нескінченності границя (ліміт) дорівнюватиме 0,5.

Це саме та нескінченність з матаналізу про яку було сказано в статтях про інтеграли та ділення на нуль. Це не якесь певне число — це поняття.

Границя послідовності

Ліміт послідовності — це простір, який містить всі елементи послідовності, починаючи з якогось значення.

А простими словами, границя послідовності, це така “область” куди потрапляють всі значення після певного порога (у нашому випадку – А). На зображенні нижче вона умовно показана синьою смужкою.

Починаючи з 13 значення всі наступні знаходяться так близько один до одного, що потрапляють у цю границю. Хоча, звичайно, не рівні йому, а “коливаються” то вліво то вправо на гранично малу величину ε. На картинці + і -. І майже всі члени послідовності, за винятком перших 13, знаходяться в інтервалі (s-ε; s+ε).

ε — це довільне позитивне число.

Можна помітити, що при продовженні вгору послідовності її значення все одно залишатимуться в межах “синьої смуги”.

Можна сказати і так:

Границя числової послідовності, це число (s на графіці) в околиці якого потрапляє нескінченно багато значень. При цьому поза цими межами, кількість значень явно скінчене.

Щоб було ще зрозуміліше: границя послідовності це значення (точка А) вище якого все буде потрапляти в область не більше s+ε і s-ε. Нескінченна кількість таких значень буде “лежати” всередині синьої смужки.

Математичною мовою можна записати так: s-ε < x_n < s+ε або |x_n– s| < ε

Тобто всі точки будуть розташовані в смузі шириною 2ε на сигму правіше і на сигму лівіше. Чим далі нагору, тим ближчі значення будуть до s, але не “випадуть” з + або – сигма.

Визначення границі в математиці не те що складне, воно контрінтуїтивне. Доводиться підключати фантазію, щоб зрозуміти, що насправді, все просто і зрозуміло.

Все ще досить “математично”, спробуємо людською мовою:

Найзрозуміліше пояснення таке. Ліміт послідовності, це така величина, в яку “майже впираються” всі її значення. Якась віртуальна стеля, до якої не дострибнути, хоча завжди залишається зовсім трохи.

Ось, наприклад, послідовність n/n+1. Тут видно, що яке значення “n” не підставляй, знаменник завжди буде на 1 більше. Візьмемо “одиницю” 1/1+1=0,5, візьмемо “десятку” 10/10+1=0,909, а якщо “двадцятку” — 0,952, а якщо “сотню” — 0,990099. Яке б число ми не підставляли, значення завжди буде наближатися до одиниці, але ніколи не буде рівним одиниці.

Ліміт функції простою мовою

Фактично це те ж саме. За винятком того, що послідовність чисел має розриви, а функція – ні, вона не є перервною. Але принципово це не змінює суті.

Ліміт функції простими словами пояснити також можна. Ліміт в якійсь довільній точці, це величина до якої значення функції наближається. Наприклад, f(x)=2x, а х→0 (ікс наближається до нуля).

У цьому випадку границя функції дорівнюватиме lim 2x=0. Або якщо х→2 то вона дорівнює lim 2x=4. Поки що все просто. Ось тільки навіщо обчислювати границі, якщо можна просто викинути “lim” і розрахунки залишаться ті самі?….

Навіщо потрібні ліміти

Границі якраз і потрібні тоді, коли ми маємо справу з нескінченністю. Наприклад, нескінченно великими чи нескінченно малими значеннями.

Незрозуміло, що таке “нескінченно велике” або “нескінченно довго”, це не якесь певне число. З нескінченно малими значеннями та сама ситуація, це не “нуль” але якось дуже близько до нього. Тут і врятують ліміти.

Ось який графік вийде, якщо взяти функцію y=x²-4/x-2

У точці х = 2 – порожньо. Тому що виходить 0/0, тобто невизначеність. Але варто замість 2 підставити 1,9999999999 (9) або 2,000000001 (1). Значення нескінченно близькі до 2, але не “два”, як графік перетвориться на пряму.

У цьому випадку йдеться про ліміт функції при “ікс”, що прагне до двох, функція прагне 4.

lim x²-4/x-2

при х→2 lim x²-4/x-2→4

Такий своєрідний “трюк” у розрахунках із заміною знака рівності на стрілочку.

Ні, не зовсім. Коли йдеться про ліміти, мається на увазі процес, не важливо функція це чи множина, але ліміт описує процес у динаміці. Тоді як знак “рівно” означає статичний стан.

x=1 і x→1, це зовсім не одне й те саме.

Приклади з життя

Навіщо все це потрібно, де застосовується границі (ліміти) в реальних розрахунках?

Просте пояснення лімітів неможливе, якщо не навести наочний приклад. Але де його взяти? Чи існує якийсь фізичний зміст лімітів? Не точний аналог, але щось схоже є.

Можна провести простий експеримент, взяти, наприклад, сірник. Або будь-що, чого не шкода. Починаємо намагатися зламати сірник, спочатку одне зусилля, потім трохи більше та ще більше. В один з моментів сірник трісне навпіл.

Вітаємо, ви досягли границі або ліміту міцності сірника. Можна повторити експеримент з іншими сірниками та встановити, значення при якому сірник ламається.

Що тут спільного з границями математики, крім назви?

Є безліч значень сили до границі міцності і воно обмежене, і безліч значень після цього значення міцності, їх необмежену кількість. Адже сірник уже зламаний, будь-яке зусилля вище за межу міцності ламатиме новий і новий сірник. Так само як і з границями функції або множини.

Все, що лежить за цією границею, вже не має практичного значення — сірник не встоїть.

Ще один приклад, це “практична стеля” літального апарату. Це максимальна висота на яку може “піднятися” літак, щоб піднятися вище вже не вистачатиме підйомної сили. Хоча є ще й поняття “динамічна стеля” — це висота, на яку можна піднятися добре розігнавшись.

Але, вискочивши на цю висоту, через деякий час літак все одно опуститься на свою практичну “стелю”.

Подивіться на картинку нижче, це наочний приклад такого явища, як резонанс.

Коливання мосту через резонанс

Міст так розгойдується через те, що власна частота коливання збігається з тією частотою з якою його розгойдує вітер, амплітуда коливань постійно зростає і міст руйнується. В цьому випадку амплітуда наближається до нескінченності, тому що в знаменнику формули знаходиться вираз w₀-w (власна частота коливань мінус вимушена частота), а так як обидва w рівні, виходить той самий поділ на нуль, а значить амплітуда → ∞.

Найзрозуміліше пояснення лімітів у реальності, з яким може зіткнутися кожен — це складні банківські відсотки за кредитом. І якщо ви не вмієте розраховувати складні відсотки, не беріть кредиту. Для тих, хто сильний у матаналізі, порада буде не зайвою.

Також може знадобитися розрахувати граничну вартість товару, знаючи залежність (функцію) ціни від обсягу продажу або граничний обсяг виробництва або багато чого ще.

Наочний приклад, можливо, це ліміт в маркетингу. Ось залежність вартості кліка від кількості кліків у контекстній рекламі.

Очевидно, що границя цієї функції наближається до 30 кліків, якщо вартість кліка наближається до нескінченності. Навіть без знання матаналізу стає зрозуміло, що при підвищенні ставки за клік до $4 або $5 доларів, не можна буде досягти більшої кількості кліків, ніж 30. А якщо так, то навіщо підвищувати ставки?

І все ж, у повсякденному житті людина рідко зустрічається з таким поняттям як границя функції або послідовності. Тому й так складно зрозуміти та прийняти абстрактні математичні формулювання.

Але, якщо постаратися, математика може відкрити нові грані реальності, все це вже не здаватиметься таким нудним і незрозумілим.