Квадратура кола

Є в історії одне чудова математична задача, яке перетворилося з простої розваги для розуму філософів стародавньої Греції, на досить непросту проблему, яка вплинула на науку у величезних масштабах…

Хоча, так і не була вирішена. Спочатку все здавалося простим: як намалювати квадрат такої ж площі, як коло?

Квадратура кола

Завдання про квадратуру кола не мало особливої практичної цінності для древніх математиків. Єгиптяни знали, як пов’язаний діаметр кола та його площа. У Єгипті площа кола розраховувалася так: S=(8/9*d)².

Але ж саму площу земельних ділянок вимірювали саме “квадратами”, тому такої точності цілком вистачало.

Але греки, чудово знаючи “єгипетську математику” задалися питанням, як саме можна побудувати квадрат маючи тільки циркуль і лінійку. І почали шукати відповідь. Виявилось, що все дуже складно. Для початку потрібно з’ясувати, як взагалі порахувати площу кола?

Що таке квадратура кола простими словами?

Це завдання про те, як побудувати квадрат такої ж площі як вже наявне коло з допомогою циркуля і лінійки. З практичної точки зору, її можна розглядати як спосіб знайти площу кола. Адже якщо ми маємо коло, накреслити такий самий квадрат, то порахувати площу квадрата простіше.

Але давніх математиків цікавив інтелектуальний бік справи, вирішити складне завдання першим.

Проблемою займався Гіппократ, Анаксагор, Дінострат та Архімед, але ніхто так і не зміг запропонувати остаточне рішення.

Хоча те, що робив Архімед, набагато випередило свій час. Великий учений у своїй праці “Вимір кола” вивів відразу 3 теореми.

Рішення Архімеда

Звідки береться площа кола?

З трикутника

Площа кола дорівнює площі прямокутного трикутника, якщо один його катет — це радіус, а другий — довжина кола. Пояснюється це просто. Якщо взяти коло і розрізати (краще подумки) його на менші кола, їх можна вкласти в трикутник.

На малюнку нижче видно, що синій круг “розгортається” в пряму більшої довжини ніж червоний. Отже, кожна нова стрічка буде коротшою за попередню. Найдовша — BC у трикутнику, вона ж L, тобто довжина кола.

Порахуємо площу трикутника: S = (AB*BC)/2 Те ж саме що і S = (R*L)/2. Все правильно. Тільки що таке довжина кола? Ми знаємо, що це діаметр (або 2 радіуси) помножене на число пі, а от Архімеду звідки це було знати? І головне, як за допомогою лінійки намалювати лінію довжиною в пі.

Якщо взяти коло і “розрізати” його на 4 частини вийде 4 рівних рівнобедрених “трикутника” (тільки одна зі сторін у них буде не пряма). Дві сторони дорівнюватимуть радіусу (червоні лінії), а третя 1/4 довжини кола.

Далі збираємо 4 частини разом як показано на малюнку вище. Радіус до радіусу. Отримаємо цікаву фігуру. Дві рівні сторони та дві криві. Рівні — радіуси, а дві “хвилі” зверху і знизу дорівнюватимуть половині довжини кола. На що це схоже? На кривобокий паралелограм. Але це поки що.

Починаємо ділити коло на дрібніші частини і збирати їх знову. Отримуємо майже прямокутник, “боковушки” у якого, як і раніше, R, а ось верхня і нижня частина все ті ж хвилі, всі ті ж довжини L/2.

Але з кожним розподілом “горбики” стають все менше і менше і ось вони вже майже непомітні. Ділити треба доти, доки він не перетвориться на майже прямокутник.

Коли шматочки будуть настільки дрібними, що вийде прямокутник, його площу буде легко порахувати, помножити довжину однієї сторони на довжину іншої (a * b). У прикладі вище сторона “a” це R (радіус кола), сторона “b” – L/2 (довга) за умови, що частини фігури будуть нескінченно маленькими, їх буде нескінченно багато. Площа кола дорівнює:

S=R*L/2

Довжина кола (L) дорівнює діаметру помноженому на число “пі” (π). Отже, L=π*d=π*(R+R)=2πR. Ось тільки числа такого тоді ще не знали, шкода.

А якщо поставити замість L вийде:

S=R*(2πR/2)=πR²

Числа “пі” Архімед не знав і не можу знати, тому що воно ірраціонально (це буде доведено тільки в 19 столітті), а такі числа в його час ще не відкрили.

Сам знаменитий математик вподобав трохи інше рішення, за допомогою спіралі. Але цікаво зовсім інше, фактично метод Архімеда, це — інтеграл.

Насправді ірраціональне число дуже складно накреслити за допомогою лінійки. Уявіть, що діаметр дорівнює одиниці, тоді довжина кола дорівнює “пі”, а тепер накресліть відрізок такої довжини (це нескінченний дріб).

З руху

Інший грек, Гіппократ Хіоський для вирішення все того ж завдання створив спеціальну криву квадратрису. Яка, як і “античний інтеграл”, випередила свій час.

Середні віки і трохи пізніше

Тренували свій розум вирішуючи нетривіальне завдання такі шановні вчені як Фібоначчі Пізанський і Леонардо да Вінчі, Гюйгенс і Кеплер….

Циліндр Леонардо да Вінчі

Знаменитий вчений запропонував дуже хитромудре рішення. Як завжди за ним водилося — “механічне”. Леонардо запропонував взяти циліндр, висота якого дорівнювала б половині діаметра кола. Далі цей циліндр потрібно було вмочити в чорнило (можна в уяві) і прокотити по папері один раз.

Вийде прямокутник висота якого дорівнюватиме половині радіуса R/2, а ширина — довжині кола (адже ми один раз “промокнули” циліндр). А площа цього прямокутника розраховується просто:

S=R/2*L=R/2*2πR=πR²

Простіше простого, лінійки і циркуля цілком достатньо… Але що таке “довжина кола”? Це зараз ми знаємо про властивості числа пі, а яке було людям минулого?

Але у випадку з да Вінчі, нічого знати і не потрібно, достатньо проміряти довгу сторону прямокутника лінійкою, щоб дізнатися довжину кола, ніякого “пі” не потрібно.

Завдання без вирішення

Врешті-решт Паризька академія відмовилася розглядати рішення і про квадратуру, і про трисекцію кута, і про подвоєння куба і… про винахід вічного двигуна. Адже комусь розвага, а комусь це все читати та писати рецензії.

У 19-му столітті взагалі було доведено, що число “пі” ірраціональне і тресендентне, а значить витягти з нього квадратний корінь неможливо.

Виходить, що, якщо взяти коло діаметром рівним одиниці, вийде що рівняння х²=πR² перетворюється на х²=π, а сам х дорівнює “корінь з пі”, а цього зробити не можна. Звідси робиться висновок, що лінійки та циркуля зовсім мало для вирішення задачі про квадратуру кола.

Наслідки не вирішення задачі про квадратуру кола

Так що ж у результаті? “Зробити із кола квадрат” не виходить. Завдання не може бути вирішене і це доведено, зате скільки цікавого в математику та геометрію завдання без рішення привнесла:

• ірраціональні числа (пі)
• трансендентні числа (також пі)
• квадратриса
• “майже” інтегрування
• безліч хитромудрих (і не дуже рішень)

Іноді для людства корисно вирішувати нерозв’язні задачі, в залишку виходить набагато більше корисного, ніж якби завдання було вирішено.