Чему равно число е

Число е — очень загадочная константа. В отличие от «пи» совершенно неочевидно откуда оно взялось и, что на самом деле означает. И совершенно неочевидно какими именно «магическими» свойствами оно обладает, раз уж это число одно из самых популярных.

Что такое число е

Число е — это постоянная Эйлера. Пока что все кажется довольно простым, есть какая-то очередная константа. Но вот вопрос, откуда она берется?

Например, число пи — это отношение длинны окружности и ее диаметра. Понятно и просто.

А вот число е — это основание натурально логарифма… То есть его происхождение немного более загадочно, эта константа появилась не из геометрии, где чтобы понять суть, достаточно увидеть. Тут все немного сложнее, но интереснее.

Натуральный логарифм ln x — это такой логарифм, основанием котрого является число е. То есть языком математики:

ln x = log_e x

Но математики любят все сокращать, поэтому чаще всего используют запись ln x. Зачем писать лишние символы, если все и так понятно? Если с сокращениями все ясно, то с самим числом пока что нет. Чтобы понять что такое число е, нужно вспомнить историю его открытия.

Откуда взялось число е

Это очень странно, но впервые открыл число е, Якоб Бернули, а не Эйлер. Бернулли решал задачу о начислении сложных процентов. Вот в чем суть:

В банк положили 1 доллар под 100% годовых (такие цифры взяты для простоты, умножать на единицу всегда очень просто, знать таблицу умножения не надо).

Если проценты будут начисляться в конце года, клиент банка заработает 2 доллара. Все понятно. Но если начислять проценты чаще? Например, раз в квартал или каждый месяц? А еще еще чаще чем раз в месяц?

Если начислить проценты два раза в год, и сумму начисленных процентов добавлять ко вкладу, очевидно, что доход клиента увеличится.

Просто математика:

1. Прошло 6 месяцев, банк начислил 100% годовых за пол года. Это 100/2=50%. То есть 1*0,5=0,5 и эти 0,5 добавляться к первоначальной сумме вклада.
2. Прошел год, банк снова начислил 100% годовых за пол года, но уже не от 1 доллара, а от 1,5. Это 1,5*0,5=0,75. Добавляем к первоначальной сумме 1+0,5+0,75=2,25. На 0,25 больше чем было с вариантом без капитализации и выплатой раз в год. Магия сложного процента, на самом деле очень простая.

Раз сложные проценты, это хорошо (но только если речь о депозите, а не кредите) тогда нужно получать выплаты как можно чаще. Естественно добавляя их к сумме вклада.

1. Раз в год. Вложили 1 доллар, заработали 2 при 100% годовых.
2. Два раза в год — 2,5, а это уже 125%, а не 100%!
3. Четыре раза в год — 2,44!
4. Каждый месяц — 2,61, и уже 161,3%!

Чем чаще капитализируются проценты по вкладу, тем лучше для нас. Тогда давайте попросим банк выплачивать доход каждый день, а лучше каждый час!

Чтобы не считать ежедневные выплаты, а тем более ежечасные, нужно вывести формулу сложного процента. Вот она:

$1*(1+1/n)ⁿ

Откуда она береться? Вот пример, выплаты процентов два раза в год:

(1+1/2)*(1+1/2)

Здесь мы берем единицу и добавляем к ней одну вторую, потому что выплаты происходят 2 раза в год, а ставка у нас 100% годовых (сто процентов, это единица), значит нужно полученные под 100% годовых деньги поделить пополам.

А если выплаты будет 4 раза в год, то на 4

(1+1/4)*(1+1/4)*(1+1/4)*(1+1/4)

Вот и получиться:

$1*(1+1/4)⁴

Соответственно получаем формулу:

Х*(1+1/n)ⁿ

Где n — это количество периодов на которые мы разбиваем выплаты.

Удобно посчитать сложный процент для ежемесячных платежей и даже для ежедневных:

$1*(1+1/12)¹²=2,61

$1*(1+1/365)³⁶⁵=2,71

А если выплачивать раз в час?

$1*(1+1/365*24)^365*24=2,7181

А если каждую минуту?

$1*(1+1/365*24*60)^365*24*60=2,7183

Вот только есть одно но. Если внимательно посмотреть, то окажется что доходность растет не так быстро как хотелось бы. Да, при капитализации каждый месяц мы получаем больше, чем при выплате четыре раза в год. При ежедневной капитализации еще больше.

Но если продолжить делить на более мелкие периоды, доходность перестает расти так же быстро как раньше. Приходиться записывать все большее чисел после замятой, чтобы увидеть что что-то вообще меняется.

Если говорить о деньгах, то разница между ежедневной выплатой и выплатой каждый час составляет 0,0056%, тогда как разница между выплатой два раза в год и четыре раза в год — 7,8%.

Другими словами в кассе банка мы получим 2,66 доллара в случае выплат 12 раз в год, 2,72 в случае ежедневной капитализации и 2,72 в случае капитализации раз в минуту. Если пойти дальше и начислять проценты раз в секунду, получится опять 2,72.

Просто потому, что более мелкий монет не существует. На самом деле доход будет продолжать расти и дальше, но все медленнее и медленнее.

Доходность в этом примере будет упирается в предел равный 2,718281828459…

На языке математики

lim(1+1/x)^x — при x стремящемуся к бесконечности

Простыми словами, как бы мы не увеличивали значение х, даже если оно будет бесконечно большим, предел функции будет равен 2,71828182845… мы будем бесконечно долго увеличивать это значение, оно будет увеличиваться но с каждым шагом все медленнее.

Число е — это значение предела этой функции. То есть е=lim(1+1/x)^x при x → ∞

Теперь понятно откуда взялось число е. По крайней мере ясно как это число появилось в первые.

Но причем тут Леонард Эйлер, если число е открыл не он, а Бернулли? Просто Эйлер впервые использовал букву e в своих работах. То есть вместо бесконечного ряда цифр, записал число одной буквой.

Чему равно число е

Значение числа Эйлера примерно равно 2,71. То есть:

е=2,71…

Но можно дописать столько знаков после запятой, сколько захочется. Ведь это бесконечная дробь, как и число «пи». Главное не забывать ставить троеточие в конце.

е=2,71828182845904523536…

Число е трансцендентное и иррациональное, как и число пи.

У Якоба Бернули в расчетах это число ограничивалось одним знаком после запятой. И такой точности было достаточно.

е=2,7

Эйлер рассчитал число е с точность до 23 знака после запятой:

е=2,71828182845904523536028

А вот Джон фон Нейман при помощи компьютера в 1949 году добился точности до 2010 знаков после запятой.

Интересные факты

1. Число е иррационально. Это бесконечная десятичная дробь примерно равная 2,71. Число знаков после запятой в этом числе бесконечно.
2. Число е — трансцендентное число, оно не может быть корнем алгебраического уравнения.
3. Последовательность чисел в числе е случайна. Значит в бесконечном его «хвосте» можно найти любые комбинации цифр.
4. Неформальный праздник числа Ейлера отмечается 7 февраля. Потому, что в американской традиции записи дат это 2/7
5. В двоичной системе число е будет записываться так 10,10110… Тоже бесконечная дробь. В любой системе счисления.
6. Производная от экспоненциальной функции равна самой себе. Это уникальное свойство такой функции.

f(x)’=de^x/dx=e^x

Это значит что скорость изменения такой функции в любой точке всегда равна значению этой функции. Простыми словами, на сколько мы меняем значение функции, ровно настолько же меняться скорость ее изменения.

Например, чем дальше пытаемся двигаться, тем сильнее сопротивление среды, или чем чаще требуем выплачивать проценты, тем медленнее увеличивается итоговая доходность.

С другой стороны, интеграл экспоненциальной функции тоже равен самой функции плюс константа.

∫e^x dx = e^x + C

Простым языком функция e^x не меняется ни при интегрировании ни при дифференцировании.

Где используется число е

Число е можно встретить в первую очередь там, где идет речь о процесах экспоненциального роста. То есть в случае использования функции f(x)=e^x. Число е в степени X — это экспонента!

Самый наглядный пример, это рост числа популяции, например бактерий. Их количество будет экспоненциально возрастать, пока не достигнет предела, например, не кончится место для дальнейшего роста или питательная среда (будет нечего есть).

Также можно встретить число е в формулах для радиоактивного распада. Химические реакции, тоже развиваться по экспоненциальному закону где используется число е. Например, зависимость энергии активации и скорости химической реакции.

Зарядка и разрядка конденсатора тоже описывается экспоненциальным законом, с использованием числа Эйлера.

Еще число Эйлера используется в функции нормального распределения. Эта функция показывает распределение случайно величины, например, роста или веса котов, коэффициента интеллекта людей или то как далеко может укатится средняя пищика от того места где было высыпано ведро с песком.

То есть число е используется довольно часто. И встречается и в математике, и в физике и в биологии и, особенно, в экономике.