Що таке логарифм

Одна з найнезрозуміліших математичних операцій — це логарифм. Для чого потрібен логарифм, як і де його використовують, практично ніхто не знає. Здається, що це щось нудне і потрібне лише математикам.

Але насправді — це важливо і навіть цікаво. Логарифм зустрічається всюди — від радіосигналу у Wi-Fi роутері до раковини равлика чи насіння соняшника.

Що таке логарифм простими словами

Логарифм — це обернена операція до піднесення до степеня. Отак просто. Є множення і ділення, а є піднесення до степеня і логарифмування.

Простими словами, логарифм відповідає на питання: “у який степінь потрібно піднести число, щоб отримати потрібний результат”.

Наприклад: log₂(8)=? означає, що ми шукаємо степінь, у який потрібно піднести 2, щоб отримати 8. log₂(8)=3, тому що 2³=8.

Якщо вам усе ще незрозуміло, що таке логарифм і для чого він потрібен, ви не самотні. Логарифмування — це неінтуїтивна операція, і дуже довго математики його взагалі не використовували.

Панцир равлика — це логарифмічна спіраль

Історія

До появи логарифмів життя в математиків (і всіх, кому доводилося багато рахувати) було складним.

Множення і ділення великих чисел, добування коренів і степенів було дуже-дуже трудомістким. Доводилося повторювати багато операцій багато разів.

Хто винайшов логарифм

Логарифми винайшов шотландський математик Джон Непер на початку 17-го століття. Саме він написав трактат “Опис дивовижного закону логарифмів”. У цій роботі він показав, як перетворювати множення на додавання, а ділення — на віднімання за допомогою логарифмів.

Як? Замість того, щоб перемножувати два великих числа, потрібно:

Спочатку знайти їхні логарифми. Потім додати їх. А потім зворотним перетворенням отримати результат.

Наприклад: потрібно перемножити два числа 1234 × 5678.

Множення в стовпчик потребує багато операцій. Це довго і є ризик зробити помилку. Можете порахувати прямо зараз, результат буде 7006652.

Насправді потрібно 28 операцій множення і додавання, щоб перемножити два чотиризначні числа.

А ось як можна зробити за допомогою логарифмів:

1. Обчислюємо десяткові логарифми кожного числа:

log₁₀(1234) ≈ 3,0913
log₁₀(5678) ≈ 3,7542

2. Складаємо логарифми:

3,0913 + 3,7542 = 6,8455

3. Знаходимо число, що відповідає логарифму 6,8455.

10^6,8455 (десять у степені 6,8455) ≈ 7006652

Ось так от “просто”. Усього 3 дії замість 28!

Ось тільки як відповісти на питання, у який степінь потрібно піднести 10, щоб отримати 5678? Як це взагалі порахувати? Хіба стало простіше?

Дуже просто. Непер створив логарифмічні таблиці. Тобто порахував усе заздалегідь. У його трактаті були розраховані логарифми синуса, косинуса і тангенса, що було потрібно астрономам.

Палички Непера

Ще один винахід Непера можна назвати першим калькулятором. Знамениті палички Непера (або кістки Непера) — набір із дошки і паличок зі значеннями, які дозволяли перемножувати і ділити дев’ятизначні числа.

Для цього потрібно було просто правильно розкласти палички на дошці і порахувати цифри в правильному ряді.

Наприклад: щоб помножити 836 на 3, потрібно скласти палички під номерами 8, 3, 6 і подивитися на ряд 3.

Читаємо справа наліво суми в діагоналях:

• Найправіше число — 8
• Складаємо цифри в другій діагоналі справа — 9+1 =10. Записуємо нуль і 1 переносимо вліво
• Складаємо цифри в наступній діагоналі — 4+0+1 (додаємо одиницю, перенесену з лівої діагоналі)
• Остання діагональ — 2

Відповідь: 836 х 3 = 2508

Фактично, це множення решіткою або Індійський метод множення. Тільки все зроблено заздалегідь і достатньо просто правильно розкладати “палички”.

Фактично, палички Непера — це таблиця множення в іншій формі. Замінює множення (усе помножили заздалегідь) на додавання. Єдина проблема: множити зручно і швидко, а ділити — ні.

Логарифмічна таблиця

Метод Непера — усе порахувати заздалегідь — був одразу тепло сприйнятий усім науковим товариством. Безліч математиків почали створювати свої логарифмічні таблиці.

Ось як працює логарифмічна таблиця:

Наприклад, потрібно помножити два числа: 120 × 23.

У таблиці знаходимо відповідні десяткові логарифми:

• 120=1,20×10² — log₁₀(1,20) = 0,0792
• 23=2,30×10¹ — log₁₀(2,30) = 0,3617

Застосовуємо ту саму дивовижну властивість логарифмів, про яку писав Непер:

log(ab)=log(a)+log(b) — добуток двох чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел!

Ось тільки потрібно не забути додати степені, тому що в таблиці у нас були інші числа:

• log(120)=0,0792+2=2,0792
• log⁡(23)=0,3617+1=1,3617

Складаємо:

2,0792+1,3617=3,4409 — це ми знайшли степінь числа 10.

10^3,4409= ?

Потрібно знову подивитися в таблицю логарифмів і дізнатися, що:

10^3,4409 ≈ 2759

Точне значення 120 × 23 = 2760, при використанні таблиці логарифмів отримувалася похибка, але це була невелика плата за спрощення розрахунків у рази.

Тобто, використовуючи властивості логарифма, можна замінити складне і виснажливе множення простим і веселим додаванням! Адже множення — це те ж саме, що і додавання! Наприклад, 2 х 3 — це те ж саме, що 2+2+2 або 3+3.

Але одним тільки множенням можна не обмежуватися і зробити логарифмічні таблиці для інших операцій. Для добування коренів, піднесення до степеня, тригонометричних функцій і багато іншого.

Логарифмічна лінійка

Йдемо далі шляхом спрощення. Якщо можна заздалегідь розрахувати результат множення, то можна зробити те ж саме для будь-яких інших складних розрахунків. Так і з’явилася логарифмічна лінійка.

Логарифмічна лінійка — це також обчислювальна машина. Якщо взяти дві лінійки, нанести на них значення і рухати відносно одна одної, можна проводити швидкі розрахунки!

Як і у випадку з таблицею, усі значення розраховані заздалегідь. Тільки замість цифр використовуються поділки на шкалі.

Користуватися логарифмічною лінійкою просто. Наприклад, для множення двох чисел:

1. Потрібно поєднати початок рухомої частини лінійки з першим числом
2. Знайти друге число на рухомій же частині
3. Подивитися, яке число знаходиться навпроти — це і буде результат

Так само можна за допомогою такої лінійки:

• Множити і ділити
• Підносити до степеня і добувати корені
• Множити і ділити на число пі
• Знаходити значення тригонометричних функцій
• Переводити різні величини (наприклад, фути в сантиметри)
• Багато-багато іншого

Усе залежить від того, які саме позначки шкали нанесені на лінійку. Дуже просто і дуже ефективно. Щоправда, точність розрахунків буде не такою високою через обмеження на точність самої шкали. Просто дуже складно розрізняти дрібні поділки на око.

Щоб мати можливість множити числа, шкала такої лінійки зроблена не лінійною, як зазвичай, а логарифмічною.

Логарифмічна шкала

Логарифмічна шкала — це така шкала, де кожна наступна поділка пропорційна не сумі, а добутку. Простими словами, на лінійній шкалі поділки будуть звичними: 0, 1, 2, 3… Тобто щоразу ми додаємо одиницю.

А на логарифмічній: 1, 10, 100, 1000… Тобто кожне наступне значення буде більше не на один раз, а в 10 разів!

Шкала може бути й іншою. Наприклад: 2⁰ 2¹ 2² 2³ або 1, 2, 4, 8… Тобто кожна поділка в два рази більша за попередню.

Це зручно, коли різниця між значеннями дуже велика (або дуже мала) і важливо бачити не наскільки це більше, а у скільки разів це більше.

Для чого потрібен логарифм

Ця математична операція потрібна всім!

Вона використовувалася для розрахунків, коли проєктували двигун звичайної машини. Для уточнення координат GPS у телефоні. Стиснення зображень на цій сторінці. Для побудови шкали звуку в аудіоплеєрі.

Навіть банки при нарахуванні складних відсотків використовують логарифми.

Кілька прикладів використання:

• Швидкість ракети змінюється залежно від зміни її маси за логарифмічним законом. У знаменитій формулі Ціолковського для реактивного руху “живе” натуральний логарифм*

Δv = v_e ln(m₀/m_f)

Де:

• • • Δv — зміна швидкості
    • v_e — швидкість витікання газу з сопла
    • ln — натуральний логарифм
    • m₀ — початкова маса ракети
    • m_f — кінцева маса ракети (без палива)

*Натуральний логарифм — це логарифм із основою числа е (число Ейлера ≈ 2,71). Для спрощення пишуть не log_e, а просто ln. Натуральний логарифм використовується в формулі, тому що експонента краще описує процес зміни маси ракети

• Гучність вимірюється в децибелах (dB). Це логарифмічна функція. Зміна на +10 дБ означає в 10 разів більше за потужністю
• У термодинаміці ентропія системи пов’язана з логарифмом, вона вимірює кількість мікростанів через натуральний логарифм
• Стиснення зображень — застосовується логарифмічне перетворення яскравості. Адже людське око сприймає яскравість нелінійно. Деякі деталі можна вирізати, і людина цього не помітить. А файл стане меншим
• GPS використовує автоматичне регулювання підсилення за логарифмічною шкалою і алгоритм під назвою “фільтр Калмана” для точнішого позиціонування
• Радіозв’язок — потужність радіосигналу вимірюється в децибел-міліватах (dBm). Це логарифм від ват. Wi-Fi — це теж радіо… Потужність сигналу вимірюється в dBm (децибел-міліватах). Наприклад, зменшення потужності сигналу в 1000 разів — це всього лише мінус 30 dBm. Завдяки логарифмам навіть величезні відмінності в потужності зручно представити короткою шкалою від 0 до −100 dBm
• Для розрахунку періоду напіврозпаду будь-якого радіоактивного елемента використовується натуральний логарифм. Просто тому, що кількість речовини зменшується за експонентою. А натуральний логарифм — обернена функція до експоненціальної функції
• Звук у лісі або світло у воді затухають за експонентою. Отже, і тут знадобиться натуральний логарифм, щоб зрозуміти, на якій відстані гучність звуку впаде в n разів або на якій глибині інтенсивність світла зменшиться в n разів

Логарифм у природі

Це дивовижно, але логарифми зустрічаються в природі. Точніше, там зустрічається експоненціальний закон. А натуральний логарифм — це ж обернена функція до експоненти. Наприклад:

• Популяція тварин або бактерій зростає за експонентою. Якщо ми хочемо розрахувати, через який час кількість тварин зросте в 5 разів, нам знадобиться натуральний логарифм
• У раковинах молюсків або в соняшнику також можна виявити логарифм. Раковина зростає за логарифмічною спіраллю. І насіння в соняшнику розташоване за логарифмічною спіраллю, щоб оптимально заповнити простір
• Наша галактика Чумацький Шлях має 4 рукави, кожен із яких — логарифмічна спіраль
• Циклони, антициклони також закручуються в таку спіраль

Форма циклону — логарифмічна спіраль

Логарифмічна спіраль — це спіраль, яка збільшує радіус експоненціально з кожним витком. Кут між дотичною до спіралі і радіусом із центра завжди однаковий, тому вона виглядає так гармонійно.

Чому логарифм зустрічається в природі? Тому що це вигідно.

Логарифмічна спіраль виникає всюди, тому що це найоптимальніша форма з точки зору збереження енергії і речовини: мінімізує втрати енергії і зберігає стабільність системи. Ось чому:

• Кожен виток спіралі пропорційний попередньому. Це економить енергію, оскільки система не змінює форму при масштабуванні
• Кут між радіусом і дотичною до спіралі не змінюється, що забезпечує стабільність. У галактиках це запобігає гравітаційному колапсу, у циклонах — хаотичному завихренню

Чому логарифми такі зручні?

Візьмемо для прикладу радіосигнал. Відомо, що радіохвилі слабшають не лінійно, а за степеневим законом (інтенсивність обернено пропорційна квадрату відстані). Логарифм робить цю залежність лінійною — і це зручно для розрахунків.

Той же Wi-Fi роутер постійно вирішує задачу: збільшити чи зменшити потужність антени?

Якби розрахунки велися напряму у ватах, довелося б оперувати такими малими значеннями, як 0,00000000002 Ватт (середня потужність сигналу або −77 dBm). Логарифм вирішує цю проблему. Розрахунки стають простішими.

Властивості логарифмів

Властивості, які Джон Непер назвав дивовижними, виглядають так:

1. log_a(b x c)=log_a(b)+log_a(c) — тобто добуток двох чисел, це те ж саме, що сума їхніх логарифмів
2. log_a(b / c)=log_a(b)-log_a(c) — тобто ділення двох чисел, це те ж саме, що різниця їхніх логарифмів
3. log_a(1)=0 — логарифм одиниці дорівнює нулю, тому що будь-яке число в степені нуль — одиниця. Навіть нуль у степені нуль
4. log_a(a)=1 — логарифм основи — одиниця. Тому що будь-яке число в степені одиниця дорівнює самому собі
5. log_a(bⁿ)=n x log_a(b) — дозволяє спростити добування кореня або піднесення до степеня. Замінити його на множення
6. log_b(c)=log_a(c) / log_a(b) — властивість, яка дозволяє переводити логарифм у будь-яку потрібну основу
7. log_a(1/b)= −log_a(b) — тому що 1/b=b⁻¹

Як і де використовуються логарифми

Властивості логарифмів дуже сильно спрощують обчислення, перетворюючи множення, ділення і піднесення до степеня на простіші операції (додавання, віднімання, множення на константу).

Натуральні логарифми допомагають аналізувати експоненціальні процеси: ріст, затухання або масштабування.

Логарифми зустрічаються і в живій природі, і в фізиці, і в математиці. Це просто дуже зручно, замість множення — використовувати додавання, а замість піднесення до степеня — множення.

Ну а те, що природні процеси описуються логарифмічними функціями, зовсім не диво. Це ознака того, що в природі всі закони раціональні, а процеси максимально ефективні.